Überprüfe, ob die Punkte auf einer Geraden liegen. Zeige, dass die Gerade eine Tangente an beide Parabeln ist.

Question

4.0 Gegeben sind die Parabeln \( p_{1} \) mit \( y=0,5 x^{2}+0,5 x+1,125 \) und \( p_{2} \) mit \( y=x^{2}- \) \( 1 x+2,25 \)

4.1 Ermittle die Koordinaten der Scheitelpunkte \( S_{1} \) und \( S_{2} \) und zeichne die beiden Parabeln in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit \( 1 \mathrm{~cm} ;-3 \leqq x \leqq 5 ;-2 \leq y \leqq 6 \).

4.2 Zeige rechnerisch, dass sich die beiden Parabeln berühren und gib die Koordinaten des Berührpunktes \( B \) an.

4.3 Überprüfe durch Rechnung, ob \( B, S_{1} \) und \( S_{2} \) auf einer Geraden liegen, und berechne \( \overline{S_{1} B} \) bzw. \( \overline{S_{2} B} \). Erkläre die gefundenen Werte geometrisch.

4.4 Zeige rechnerisch, dass die Gerade \( g \) mit der Steigung \( m=2 \) durch den Punkt \( B \) eine Tangente an beide Parabeln ist.

Answer 1

Hi Franzi,

4.3

Du hast doch sicher den Berührpunkt und die Scheitelpunkte berechnet. Dann nimm nun zwei Punkte und stelle eine Geradengleichung auf. Nimm nun den dritten Punkt und mache eine Punktprobe, indem Du bspw. den x-Wert dieses Punktes einsetzt und schaust ob der gleiche y-Wert rauskommt.

Zur Berechnung der Längen der Strecken kannst Du mit dem Steigungsdreieck bzw. Pythagoras argumentieren. Reicht das schon als Hinweis? ;)

4.4

Du kannst überprüfen, ob beide Parabeln iwo die Steigung m = 2 haben, indem Du die Ableitung der beide Parabeln bildest und schaust ob da f'(x) = 2 bzw- g'(x) = 2 zu einer Lösung führen.

Grüße

Comments

Also für den Berührungspunkt habe ich (1,5/3) raus ich hoffe das passt und für die beiden scheitel einmal (-0,5/1) und (0,5/2) aber inwieweit helfen mir diese Punkte weiter ? Was ist eine punktprobe ?. Und mit Pythagoras ? Das ist doch nicht mal ein Dreieck ?:(Und 4.4 versteh ich gar nicht

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Das ist soweit richtig.

Dann kannst Du doch nun eine Gerade aufstellen. Nimm die beiden Scheitel:

1 = -0,5m + b

2 = 0,5m + b

b = 1,5 und m = 1

--> y = x + 1,5

Nun überprüfen ob B auf der Geraden liegt. y = 1,5+1,5 = 3 --> B liegt auf.

Nun kannst Du doch die Punkt mittels Dreiecke (Steigungsdreiecke) verbinden. Da dann mit Pythagoras die Länge der Strecken berechnen.

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Also so ? Weil irgendwie komme ich zwar auf die Ergebnisse von m & t aber es sieht falsch aus. Oder passt das ?

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Ich verstehe nicht ganz. Du hast doch das gleiche Ergebnis wie ich. Da wird das schon richtig sein, wenn Du das jetzt nochmals nachgerechnet hast ;).

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Ja stimmt auch wieder:) aber wie berechnet man die Laenge von S1B und S2B, weil bei Satz des Pythagoras braucht man ja die laenge von 2 Seiten und das hat man ja eben nicht.

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Mit Hilfe von Dreiecken. Im Prnizip ein Steigungsdreieck an dessen Hypotenuse Du interessiert bist. Wenn das nicht klar ist -> Skizze ;).

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Und wie geht die 4.4? Ich habe da den Punkt t ausgerechnet und bin auf 0 gekommen. Also hat man die Geradengleichung g:y=2x+0

aber wie zeigt man damit das eine Tangente an den beiden Punkten ist ?

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Schau wo die beiden Graphen ihre Ableitungen f' = g' = 2 haben. Dann überprüfe ob die Gerade durch B wirklich durch diese Punkte geht. Dann weißt Du, dass es sich um Tangenten handelt.