Überprüfe ob die Punkte A, B und C auf der Geraden g liegen

Question

Hallo, ich weiß leider nicht wie ich bei der Aufgabe anfangen soll. Ich würde mich über mögliche Hilfen freuen.

Überprüfe ob die Punkte A, B und C auf der Geraden g liegen

A) g: x (mit →) =  (0 3 1) (untereinander) + k · (2 1 -2) (untereinander

A (-4/1/5), B (2/4/2), C (10/8/-9)

Die Lösung sei:

A liegt auf g für k= -2

B liegt nicht auf g.

C liegt auf g für k=5

Leider weiß ich nicht wie ich das ausrechnen soll.

Danke für Hilfe im Voraus.

Answer 1

Hallo, willkommen in der Mathelounge!

Setze g = A bzw. B und C und löse das daraus entstehende Gleichungssystem.

Für A sieht das so aus:

\( \begin{aligned} g: \vec{x} &=\left(\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ -2\end{array}\right) \\\left(\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\- 2\end{array}\right) &=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 1 \\ 5\end{array}\right) \\ 2 k &=-4 \Rightarrow k=-2 \\ 3+k &=1 \Rightarrow k=-2 \\ 1-2 k &=5 \Rightarrow k=-2 \end{aligned} \)

Melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Ich habe es genauso mit B und C gerechnet. Bei B kam bei dem dritten Gleichungssystem k= -0,5 und bei C überall k= 5.

Wenn also bei den Gleichungssystemen überall k = die gleiche Zahl ist, dann liegt der Punkt auf der Geraden g k= ... wenn aber unterschiedliche, dann liegt es nicht auf der Geraden g.

Habe ich das richtig verstanden?

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Ja, genau so ist es.

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Alles klar, vielen lieben Dank!

Answer 2

Gerade und Punkt gleichsetzen und k bestimmen.

Du erhältst 3 Gleichungen.

Answer 3

Betrachte mal nur die x-Koordinaten

A) 0 + k * 2 = -4

B) 0 + k * 2 = 2

C) 0 + k * 2 = 10

Daraus kannst du direkt k berechnen. Mache dann die Probe, indem du k in die Geradengleichung einsetzt.

Comments

Ich habe k berechnet und dabei kam raus:

A) k= -2

B) k= 1

C) k=5

Und bei der Probe kamen mir die x-Koordinaate der Punkte wieder raus also -4, 2 und 10. Wie kann ich also sagen, ob die Punkte auf der Geraden liegen, das verstehe ich nicht ganz.

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Du setzt deine Ergebnisse in die Geradengleichung ein

A) [0, 3, 1] - 2 * [2, 1, -2] = ...
B) [0, 3, 1] + 1 * [2, 1, -2] = ...
C) [0, 3, 1] + 5 * [2, 1, -2] = ...

Das vergleichst du dann mit den Punkten. So klar geworden?