Begründen Sie, warum es genau zwei lineare Abbildungen gibt, die den Tetraeder auf sich selbst abbilden.

Question

Im euklidischen Vektorraum \( \mathbb{R}^{3} \) mit Standardskalarprodukt wird durch die folgenden vier Punkte ein Tetraeder gegeben:

\( \mathbf{0}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right), \boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) \)

(a) Begründen Sie, warum es genau zwei lineare Abbildungen \( \varphi_{i}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, x \mapsto \varphi_{i}(x)=A_{i} x, i= \) 1,2, gibt, die den Tetraeder auf sich selbst abbilden und für die \( \varphi_{i}(b)=c \) gilt. Geben Sie die Abbildungsmatrizen \( A_{1}, A_{2} \) explizit an.

(b) Zeigen Sie, dass beide Abbildungsmatrizen \( A_{1} \) und \( A_{2} \) aus (a) orthogonal sind.

Answer 1

Eine lineare Abbildung von IR^3 nach IR^3 ist durch die Bilder der Vektoren einer Basis von IR^3
festgelegt.  Außerdem gilt immer  (ich schreib mal f statt phi)  f(0)=0
Eine Basis bilden b,c,d .    Da der Tetraeder auf sich abgebildet werden soll, müssen die
Bilder von a,b und c wieder in irgendeiner Reihenfolge a,b und c sein.

Durch die Vorgabe f(b)=c bleiben nur zwei Möglichkeiten
f1:    f(b)=c   f(c)=b  f(d)=d
oder
f2:   f(b)=c   f(c)=d    f(d)=b

Die zugehörigen Matrizen sind
für f1.
0    1       0
1     0      0
0      0      1
für f2
0      0      1
1      0       0
0      1      0
2.)
Musst du halt zeigen, dass A * A^T = E ist.
Dann man nachrechnen, ist so.

Comments

Du hast die Vektoren umbenannt und dann mE noch einen Fehler bei der ersten Matrix.

Answer 2

In der Abbildungsmatrix stehen die Bildvektoren der Basisvektoren (1,0,0) , (0,1,0) und (0,0,1).

Die Kanten des Tetraeders haben in der Reihenfolgen a, b, c genau diese Richtungen.

Weil b--> c vorgegeben ist, ist die 2. Spalte (0,0,1). 0 ist Fixvektor.

Dann ist noch möglich

1.  a --> b, c --> a oder 

2. a--> a, c --> b.

1.  a --> b, c --> a 

0   0    1

1   0    0

0   1   0

Interpretation: Drehung um 120°. Achse g:  r = t * (1,1,1) 

2. a--> a, c --> b.

1   0    0

0   0     1

0   1    0

Interpretation: Spiegelung an Ebene durch A(1,0,0), O(0,0,0) und M(1,1,1)