Matrizenrang bestimmen wer kann helfen

Question

Rang der Matrix bestimmen:

\( \left(\begin{array}{lllll}1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ a & b & c & 0 & 0\end{array}\right) \)

Ansatz/Problem:

Wenn ich das mit dem Gauß-Verfahren rechnen möchte, komme ich nicht weiter. Für die Stufen weiß ich nicht, was ich rechnen soll. Es sind nur Nullen und Einsen.

Comments

Subtrahiere die Summe aus dem \(a\)-fachen der ersten und dem \(b\)-fachen der zweiten Zeile von der dritten.

Answer 1

Du musst halt mehrere Fälle unterscheiden:

1. Fall a=0

dann hängt das weitere Vorgehen von b ab, hier musst du wieder Fälle unterscheiden:

2. Fall   a=0 und b=0 
dann hängt es von c ab, also

3. Fall a=0 und b=0 und c=0      dann ist jedenfalls rang gleich 2

4. Fall a=0 und b=0 und c <>0  dann rang=3

5. Fall a=0 und b<>0 dann brauchst du für die Stufenform
             2.Zeile * -b und dann zur 3. Zeile dazu addieren

1  0    1      1     0

0  1    1      0     1

0  0   c-b   0    -b

wegen b<>0 ist das jedenfalls rang=3 

6. Fall a<>0

Dann 1. Zeile mal -a und zur 3. addieren gibt

1  0    1      1     0

0  1    1      0     1

0  b   c-a   -a    0

und wegen a<>0 also jedenfalls auch rang gleich 3

Die ersten beiden Fälle waren übrigens überflüssig, wie sich jetzt zeigt.

Comments

Oh mein Gott ich bisschen gerade überfordert...ist das die ganze Rechnung?? Als ist das der rang 3?

Gibt es auch eine direkte Möglichkeit um den Rang zu bestimmen. Kann man das z.B auch durch sehen erkennen oder muss man immer schritt für schritt fälle unterscheiden. Da wird man ja nie fertig :=))) 

Im Internet wird oft geschrieben dass man das auch mit dem Gauß Verfahren man kann aber auch Ohne. es soll noch ein anderes Verfahren geben, sowas wie Umtaschverfahren oder so hieß es glaub ich....

Woher sehe ich denn dass das der 3 rang ist?? Sehe ich das an den Nullen??

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wenn du drei lin unabh. Spalten erkennen kannst, ist es

rang 3 (mehr ist ja nicht möglich da nur drei Zeilen.

Ich denke du musst schon die Fälle angeben, denn es ist ja nicht immer drei

sondern

"3. Fall a=0 und b=0 und c=0      dann ist jedenfalls rang gleich 2"

denn hier besteht die 3. Zeile nur aus Nullen, es gibt also nur maximal

zwei linear unabh. Spalten

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also es könne nur max 3 Ränge seine...ok, das habe ich mir eben notiert :=) 
bei meinem Fall war es ja so dass ich viele nullen hatte und 1`en...deshalb wurden fälle gemacht. Aber wie wäre es wenn dort jetzt nur zahlen wäre wie 5,8,9...und ohne buchstaben. Müsste ich da genauso so wie du auch fälle unterscheiden??? oder müsste ich da irgendwelche rechnungen machen, ich meinte könnte man den in dem Falle eine direkte rechnung machen?

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Genau, das mit den Fällen brauchst du nur, wenn Variablen in der Matrix

sind. Sonst machst du einfach Stufenform und liest das Erg. ab.