Vector, Ableitung, Bewegung

Question

1. An airplane moves along a path such that its position at time t is (2t, t2, t + t2) from time t = 0 until time t = 1. At time t = 1, the airplane leaves its path and flies off along the tangent line to his path, maintaining the speed it had at time t = 1. What will be the position of the airplane at time t = 3?

Die Lösung ist: (2,1,2) + 2 (2,2,3) = (6,5,8).

Ich verstehe wie man auf die einzelnen Vektoren kommt, verstehe aber den Zusammenhang nicht warum Zeit 3 :

das (2,1,2) + 2 (2,2,3) = (6,5,8) sein soll. Vielleicht auch die Theorie ein wenig erklären? !!

Answer 1

(2t, t², t + t²) from time t = 0 until time t = 1.
Das sind wohl Hochzahlen bei t ?
also t=1 einsetzen gibt (2,1,2) In dem Punkt ist es bei t=1.

Dann in tangentialer Richtung, d.h. die Richtung ist
die Ableitung von (2t, t², t + t²) nach t, das wäre (2,2t,1+2t)
und zum Zeitpunkt t=1 ist das (2,2,3).
in diese Richtung fliegt es weiter und zwar mit gleichbleibender
Geschwindigkeit. also pro Sekunde (Minute ? steht ja nicht da)
einmal diesen Vektor am Punkt von t=1 drangehängt.
da es bis t=3 von t=1 aus noch 2 s sind, ist der Punkt für t=3
also durch (2,1,2) + 2 (2,2,3) = (6,5,8) gegeben.

Answer 2

Das Flugzeug bewegt sich entlang des Graphen S = [2·t, t^2, t + t^2]

Du brauchst jetzt den Ort bei t = 1 und die Geschwindigkeit bei t = 1

S(1) = [2·1, 1^2, 1 + 1^2] = [2, 1, 2]

S'(t) = [2, 2·t, 2·t + 1]

S'(1) = [2, 2·1, 2·1 + 1] = [2, 2, 3]

Um jetzt also den Ort zum Zeitpunkt t = 3 zu bestimmen nimmt man den Ort zum Zeitpunkt t = 1 + der Tangentialbewegung an der Stelle t = 1

[2, 1, 2] + 2·[2, 2, 3] = [6, 5, 8]

Answer 3

$$ \vec s(t) =\begin{pmatrix} 2t\\t^2\\t+t^2 \end{pmatrix} \{t|0\lt t\lt1\}$$
Ab t=1 fliegt der Jet unter Beibehaltung seiner Geschwindigkeit und Richtung .
$$ \vec s(1) =\begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} $$
$$ \frac {d \vec s}{d t}(1) =\begin{pmatrix} 2\\2\\3 \end{pmatrix} \{t|t \gt 1\}$$
$$  \vec s(t) =\begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} +(t-1) \cdot \begin{pmatrix} 2\\2\\3 \end{pmatrix} \{t|t \gt 1\}$$

Comments

Danke für eure hilfreichen Antworten!!! Habs kapiert :)