Aloha :)
Du hast Recht, ein möglicher Weg des Nachweises besteht darin, die Lösungsvorschläge abzuleiten, einzusetzen und dann zu schauen, ob sie die Differentialgleichung erfüllen. Beim Ableiten musst du auf die Kettenregel achten:
$$x(t)=A\sin(\omega t)$$$$x'(t)=\omega A\cos(\omega t)$$$$x''(t)=-\omega^2 A\sin(\omega t)$$Einsetzen in die Differentialgeichung liefert:$$\underbrace{-\omega^2 A\sin(\omega t)}_{=x''(t)}=-k\,\underbrace{A\sin(\omega t)}_{=x(t)}\quad\Rightarrow\quad\omega^2=k$$
Dasselbe machen wir für die andere Lösung:
$$x(t)=A\cos(\omega t)$$$$x'(t)=-\omega A\sin(\omega t)$$$$x''(t)=-\omega^2 A\cos(\omega t)$$Einsetzen in die Differentialgeichung liefert:$$\underbrace{-\omega^2 A\cos(\omega t)}_{=x''(t)}=-k\,\underbrace{A\cos(\omega t)}_{=x(t)}\quad\Rightarrow\quad\omega^2=k$$
Beide Lösungen passen also. Genau genommen muss \(k\ge0\) gelten, weil \(\omega^2\) als Quadratzahl nie negativ werden kann. Wenn \(k<0\) ist, muss eine Exponentialfunktion als Lösung angesetzt werden.
