Aloha :)
zu a) Der zurückgelegte Weg in km nach \(t\) Stunden beträgt:$$s(t)=at^2+bt$$
Nach 6 Stunden ist der Karren wieder am Startpunkt:$$0\stackrel!=s(6)=36a+6b\stackrel{\div6}{\implies}6a+b=0\stackrel{-6a}{\implies}b=-6a\implies s(t)=at^2-6at$$
Zur Bestimmung der größten Entfernung setzen wir die Ableitung gleich Null:$$0\stackrel!=s'(t)=2at-6a\implies2at=6a\implies t=3$$
Die größte Enfernung ist nach \(t=3\,\)Stunden erreicht und beträgt \(180\,\)km:$$180\stackrel!=s(3)=9a-18a=-9a\stackrel{\div(-9)}{\implies}a=-20$$
Damit lautet die gesuchte Funktion:$$\pink{s(t)=120t-20t^2}$$
zu b) Die Geschwindigkeit ist die Ableitung von \(s(t)\) nach der Zeit \(t\):$$v(t)=s'(t)=120-40t\implies \pink{v(1,5)=60}$$
Die Geschwindigkeit bei \(t=1,5\,\) Stunden beträgt also \(60\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\).
zu c) Hier ist nichts zu berechnen, da der Karren nach 6 Stunden wieder am Anfang ist, beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit in diesen 6 Stunden 0.
