Exponenten mit Variablen wie berechnen?

Question

Ich habe ein generelles Problem mit der Potenzrechnung. Und zwar sind "einfache" und auch gebrochene Potenzen für mich in der Regel kein Problem, da ich da einfach die Rechenregeln anwende und ausrechnen kann.

Was mich aber irritiert sind zum Beispiel solche Ausdrücke:

2^{2-x} = 8

Aufgabenstellung ist, nach x aufzulösen.

Mein grundsätzliches Problem besteht darin, dass ich den Ausdruck 2^{2-x} nicht verstehe und deshalb auch nicht weiß, wie ich damit umgehen bzw. was ich damit machen soll.

Ich verstehe nicht, was das "-x" des Exponenten bedeuten soll.

Genau so bei folgender Aufgabe, die ebenfalls nach x aufgelöst werden soll:

2^x - 2^{x-1} = 4

Da habe ich wieder Probleme den Ausdruck mit einer Variablen UND einer Zahl als Exponenten zu verstehen.
Was heißt das "-1" als Teil des Exponenten?

Wie habe ich generell solche "zusammengesetzten" Exponenten zu verstehen?

Answer 1

Deine Frage lässt sich mit einem Blick auf die Potenzgesetze beantworten.

Dabei gibt es ein Potengesetz, welches folgende Schreibweise erlaubt:

a^m/aⁿ=a^m-n

a^m*aⁿ=a^m+n

Und das nun für Deine Frage, wie man 2^2-x umschreibt, verwandt -> 2^2-x=2²/2^x.  Klar? ;)

Nun, wie löst man sowas? Da gibt es es mehrerlei Möglichkeiten. Bei der a) empfehle ich einen Koeffizientenvergleich.
Es ist 8=2³

Also: 2^2-x=2³

Die Basis ist also die Gleiche. So muss es auch der Exponent sein!. Es ist also 2-x=3  -> x=-1.

Probe: 2^2-(-1)=2³=8. Es passt also.

Zur b).
Wir hatten ja gerade gesagt, dass 2^x-1=2^x/2 ist. Schreiben wir das so, können wir 2^x ausklammern:

2^x(1-1/2)=4
2^x(0,5)=4     |*2
2^x=8
2^x=2³ 
x=3

Klar? Sonst frag gerne nach ;).

Comments

OK, vielen Dank, mit dem von dir benannten Potenzgesetz ist mir die Aufgabe nun viel klarer :)
Mein Mathebuch ist da leider etwas unvorteilhaft, weil da nicht alle Potenzgesetze auf einmal drin stehen sondern verteilt über mehrere Seiten, so habe ich das sicher übersehen.

Da ich seit über 10 Jahren kein Mathe mehr hatte und ich nun für das Studium mühsam alles neu erarbeiten muss, kenne ich die Methode des Koeffizientenvergleichs nicht mehr, steht auch im Buch nicht wirklich was zu drin.

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Hier hast Du sie mal auf einem Blick:

https://www.matheretter.de/wiki/potenzgesetze

Wegen dem Koeffizientenvergleich. Er ist eigentlich gar nicht schwer zu verstehen. Konntest Du obige Zeilen nachvollziehen?
Ansonsten arbeite mit dem Logarithmus. Das kommt aufs gleiche raus:

2^2-x=2³                          | Logarithmus (zur Basis 2) anwenden

log₂(2^2-x)=log(2³)       | Logarithmengesetze

(2-x)log₂(2)=3log₂(2)  | :log₂(2)

(2-x)=3

Du siehst, mit dem Koeffizientenvergleich spart man sich etwas den Logarithmus. Alles in allem ist der Koeffizientenvergleich aber nichts anderes ;).

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Ja, die obigen Zeilen konnte ich nachvollziehen. Man setzt quasi für x einen Wert ein, um auf 2 hoch 3, also 8 zu kommen und schon hat man x. Ich befürchte nur, dass es Aufgaben geben wird, die nicht immer so einfach sind ;) Ich tröste mich immer damit, dass ich "nur" BWL an der FH studiere und keinen Ingenieursstudiengang oder andere technische Studiengänge :)

Die Logarithmen muss ich mir auch nochmal etwas zur Brust nehmen.

Danke für die Übersicht aller Rechenregeln, die Seite ist echt gut, da werde ich mir mal zur Hilfe das ein oder andere auf Karteikarten übertragen :)

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Freut mich, wenn ich helfen konnte. Sollte noch ein Problem bestehen, weißt Du wo Du uns findest ;).