Definitionsbereich von Funktionen, Ableitung von f(x):= 1/2 log ((1+x)/(1-x))

Question

(a) Welchen Definitionsbereich hat die Funktion f, die durch

$$f\left( x \right) :=\frac { 1 }{ 2 } \log { \frac { 1+x }{ 1-x }  } $$

definiert ist? Berechnn Sie f'.

(b) Welchen Definitionsbereich hat die Funktion f, die durch

$$f\left( x \right) :=\log { (tan\frac { x }{ 2 } ) } $$

definiert ist? Beweisen Sie:

$$f'\left( x \right) :=\frac { 1 }{ sinx } $$

Wie bestimmt man denn den Definitionsbereich der Funktionen? Und wie sehen die Ableitungen aus?

mfg

Comments

$$\frac { 1 }{ 1-x^ 2 } $$ hab ich für die Ableitung bei a) raus

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der Term im Logarithmus muß > 0 sein
( 1 + x ) / ( 1- x ) > 0
außerdem : weil die Division durch 0 undefiniert ist : x ≠ 1

Für ( 1 + x ) > 0 und ( 1 - x ) > 0 gilt  ( Bruch ist positiv )
x > -1 und x < 1
-1 < x < 1

Für ( 1 + x ) < 0 und ( 1 - x ) < 0 gilt ( Bruch ist positiv )
x < -1 und x > 1
keine Schnittmenge

Insgesamt
D = -1 < x < 1 = ] -1 ; 1 [

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bei a) habe ich (1/(x+1)+1(1-x))/2 für die ableitung raus , ist das richtig ?

und hat jdn eine idee welche Definitionsbereicht log(tan(x/2)) hat ?

Danke !

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Allgemein,

[ log10 ( z ) ] ´ =  z ´/ ( z * ln(10) )

Ich will jetzt fernsehen. beim nächsten Mal den kompletten
Rechenweg.

Den tan bekommen wir auch hin.

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Heißt nächstes mal , noch Heute? :D
Weil leider ist das eine Aufgabe von einem Übungsblatt, was morgen abzugeben ist :)

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Nur der Füllstext für 20 Buchstaben

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Kannst du vielleicht auch die Ableitung für b machen? Ich verhäder mich da irgendwie die ganze zeit.

Ich würde das mit kettenregel machen komme damit aber auf 1/(tan(x/2))  *  1/ cos(x)+1   und nicht 1 /sin(x)

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Ich habe etwas völlig anders heraus

Die Ableitung wurde mit einem Matheprogramm
überprüft.

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Bei b) ist der natürliche Logarithmus gemeint, nicht der dekadische.

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bei a.) und b.) steht beides Mal log
Ich habe beide Antworten für log₁₀ gegeben.
Habe ich mich umsonst abgerackert ?

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Tut mir leid.
Habe die Aufgabe vom Übungszettel abeschrieben ohne darüber nachzudenken dass es da verschieden Interpretationen von gibt.
Mein Fehler.

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@georgborn: Ich befürchte, ja.
Es müsste bei beiden Aufgaben der natürliche Logarithmus gemeint sein.
Oft schreibt man dafür \(\log\) (jedenfalls in der Hochschulmathematik; in der Schule wird das meist eindeutiger geschrieben). Das liegt daran, dass man eigentlich sowieso nur den natürlichen Logarithmus benötigt. Ich jedenfalls habe in drei Semestern Analysis noch nie einen anderen Logarithmus benutzt. ;-)

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Fazit : ich werde nur noch Aufgaben mit ln und e rechnen.
Schönen Dank für deinen Kommentar.

Answer 1

Also der Definitionsbereich ist recht knifflig zu ermitteln. Wie einer meiner Vorgänger hier schon erwähnt hat muss der Term im Logarithmus echt größer null sein. Also muss man herausfinden für welche x, tan(x/2) echt größer null wird. Da der Tanges eine Kreisfunktion ist und sich deshalb wiederholt, muss wohl auch der Definitionsbereich ähnliche Charakteristiken aufweisen.

Korrigiert mich wenn ich falsch liege, aber der Definitionsbereich wo tan(x/2) > 0 ist, ist für:

x = { (n*π, (n+1)*π) }, wobei n gerade sein muss, also mod₂ [n] = 0 sein.

Also ist f(x) im Bereich (n*π, (n+1)*π) für alle n mit [n]₂ = 0 definiert.

Comments

und kannst du mir bitte sagen ob mein ergebnis von a also die ableitung richtig ist ?

 (1/(x+1)+1(1-x))/2

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Kannst du vielleicht noch etwas erklären und ausführlicher aufschreiben warum der Definitionsbreich deiner Meinung nach so ist?
Ich komme alleine leider nicht wirklich weiter

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Die Ableitung zu a müsste: (1/(1+x)+1/(1-x))/2sein.

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Wie kommt ihr auf euzre Ableitungen? Meiner meinung nach müsste dir 1/(1-x^2) sein

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Also der Logarithmus ist nur für x > 0 definiert.

Da aber in dem Logarithmus tan(x/2) steht muss man herausfinden für welche Werte tan(x/2) > 0 wird.

Dies kann man sich am besten veranschaulichen indem man die Funktion tan(x/2) plottet und dann nur den oberen Quadranten anschaut. Und nun muss einfach gucken für welchen Bereich tan(x/2) positive ist und dann hat man seinen Wertebereich. Da du ja die Lösung jetzt hast kannst du dir es ja anschauen und gucken ob es stimmt.

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log(a/b)=log a - log balso:log((1+x)/(1-x))=log(1+x)-log(1-x)und die Ableitung von log x = 1/x
jetzt müsstest du alleine die Ableitung weiter machen können

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Alles klar verstanden.

Dann bedanke ich mich für deine Hilfe :)

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kann bitte jdn sagen wie man die ableitung von log(tan (x/2) )beweisen kann ?
Vielen Dank

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Bevor sich jemand nochmal die Mühe macht:
https://www.mathelounge.de/189242/brauche-hilfe-bei-der-ableitung-von-f-x-log-tan-x-2?state=comment-189277&show=189277#a189277

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Ich hab bei der Ableitung von a folgendes raus: -1/((x-1)*(1+x))

Answer 2

f(x):= 1/2 log ((1+x/1-x)) 
berechnen sie f '

f ' (x) =  1/2 *   1 /  ((1+x)/(1-x))  *  Abl. von (1+x)/(1-x) wegen Kettenregel
Diese innere Ableitung gibt 2 / (x-1)^2 also alles zusammen

f ' (x) = 1/2 * ((1-x)/(1+x)) * (2 / (x-1)^2)
          =  -1/ ((x-1) *(1+x))