Riemann´sche Summe erstellen für f(x) = 1 - x^2 im Intervall (0,1)

Question

Ich bitte um die nachvollziehbare Erstellung der Riemannsche Summe für die Funktion F(x)=1-x^2 , im Intervall(0,1) in n gleichen Teilen. Bitte sehr ausfühlich zum nachvollziehen. Lasst mich nicht dumm sterben.

Danke für eine baldige Antwort.

Answer 1

Teile das Intervall  [0,1]  in  n  gleichgroße Teile. Skizze:

Es gilt  x₁ = 1/n  und  x_k = k·x₁ = k/n. Die Fläche unter dem Graphen wird angenähert durch die Summe aus den Flacheninhalten von  n  Rechtecken, die alle die gleiche Grundseite  1/n  haben.
Die Höhen berechnen sich zu y_k = f(x_k) = 1 - k²/n².
Ein solches Rechteck hat also den Flächeninhalt (1/n)·y_k = (1/n)·(1-k²/n²).
Summieren ergibt  s_n = ∑_k=1,...,n ((1/n) - k²/n³) = 1 - (1/n³)·∑_k=1,...,n k²
= 1 - (1/n³)·n·(n + 1)·(2n + 1)/6 = 2/3 - 1/(2n) - 1/(6n²).
Dabei wurde die bekannte Lösungsformel für die Summe der ersten  n  Quadratzahlen verwendet.
Der Grenzwert für  n → ∞  ist demnach  2/3.
Bemerkung: Dies sind die sog. Untersummen. Analog berechnet man die Obersummen. Damit erhält eine Intervallschachtelung für die Fläche unter dem Graphen.

Comments

Besten Dank,super klare Antwort.So macht Mathe Spass.