Teile das Intervall \( \left[ 0 , \frac{\pi}{4} \right] \) in \( n \) gleiche Teile, dann ergibt sich eine Intervallbreite von \( \Delta = \frac{\pi}{4n} \)
Die Obersumme ergibt sich damit zu \( O_n = \sum_{i=1}^n \Delta \cdot \sin(i \Delta) = \Delta \frac{\sin\left( \frac{n}{2} \Delta \right) \sin\left( \frac{n+1}{2} \Delta \right) }{ \sin\left( \frac{\Delta}{2} \right)} \)
Wegen \( \sin\left( \frac{\Delta}{2} \right) = \frac{\Delta}{2} + \mathcal{O} \left( \frac{\Delta}{2} \right)^2 \) folgt
\( \frac{\Delta}{\sin\left( \frac{\Delta}{2} \right)} = \frac{\Delta}{\frac{\Delta}{2} + \mathcal{O} \left( \frac{\Delta}{2} \right)^2} = \frac{2}{1 + \mathcal{O} \left( \frac{\Delta}{2} \right)} \to 2 \) für \( \Delta \to 0 \)
Weiter gilt \( \frac{n}{2}\Delta = \frac{\pi}{8} \)
also insgesamt \( O_n \to 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \)
Bei der Untersumme geht's genauso.