Berechnen durch Riemannsche Summe

Question

Hallo,

Gegeben sei folgende Aufgabe:

Für \(x \geq 0\) berechne man durch Interpretation als Riemannsche Summe:

$$s := \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1^x+2^x+...+n^x}{n^{x+1}}$$

Leider habe ich hier absolut keine Idee wie ich vorgehen soll.

Answer 1

setz mal x=3 z. B,

dann hast du $$\frac{1}{n}*(\frac{1}{n^3}+\frac{2}{n^3}+\frac{3}{n^3}+.....+\frac{n}{n^3})$$   erkennst du jetzt die Riemannsche Summe?

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Vielleicht steh ich gerade auf dem Schlauch, aber ist bei x = 3 nicht:

\(\frac{1}{n}*(\frac{1^3}{n^3}+\frac{2^3}{n^3}+\frac{3^3}{n^3}+.....+\frac{n^3}{n^3})\)

Der Fall?

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Also ich bin jetzt glaube ich drauf gekommen.

Mein Ergebnis ist:

\(\frac{1}{n}*(\frac{1^x}{n^x}+\frac{2^x}{n^3}+\frac{3^x}{n^x}+.....+\frac{n^x}{n^x})\)

Die Terme unterscheiden sich ja nur im Zähler also geht:

\(f(i) = \frac{i^x}{n^x}\) also:

\(\int \frac{i^x}{n^x}di = \sum \limits_{i=1}^{n}\frac{1}{n}*f(i)\)

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Hallo

du hast die Funktion, die von 0 bis ?  integriert wird noch nicht hingeschrieben.

(dass ich die Potenzen im Zähler vergessen habe hast du natürlich recht!)

Gruß lul