Um das Integral von 1/x mit Obergrenze a und Untergrenze 1 mit Hilfe Riemannscher Summen zu berechnen sucht man im ersten Schritt eine Stelle b zwischen 1 und a, sodass die Flächen der Rechtecke (der Obersumme) über den beiden Abschnitten von 1 bis b und von b bis a gleichgroß sind. Die Stelle liegt bei b=√a. Mit dieser Obersumme berechnet man die erste Annäherung an die gesuchte Fläche A1=2·(√a-1). Jetzt sucht man eine Stelle c zwischen 1 und b sodass die Rechtecke (der Obersumme) über [1;c] und [c,b] gleichgroß sind. Man findet c=√b=4√a.. Die bessere Annäherung an die gesuchte Fläche ist dann A2=4·(4√a-1). Nach diesem muster Berechnet sich die n-te Annäherung an die gesuchte Fläche als An=2n·(2^n√a - 1). Der Grenzwert von An für n gegen Unendlich ist ln(a).
Dasselbe Ergebnis wird auch erreicht mit der h-Methode, wenn man h=2-n setzt. Dann gilt An=2n·(2^n√a - 1)=(ah-a0)/h. Wegen h=2-n geht h gegen Null, wenn n gegen Unendlich geht. Der Grenzwert von (ah-a0)/h für h gegen 0 ist die Ableitung der Funktion f(x)=ax an der Stelle x=0 nämlich ln(a)·ax an der Stelle 0. Und das ist ln(a).
