Wie bestimme ich das Integral mit der Riemannsche Summe?

Question

Aufgabe:

Wie bestimme ich das Integral mit der Riemannsche Summe?

1.Intervall (0,1) f(x)=4

2. Intervall (0,1) f(x)=3x

Answer 1

Aloha :)

Bei der Riemann'schen Summe wird die Fläche durch Rechtecke unterhalb der Funktion angenähert:

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f₁(x) = 3xf₂(x) = 0,3·(x>=0,1)·(x<=0,2)f₃(x) = 0,6·(x>=0,2)·(x<=0,3)f₄(x) = 0,9·(x>=0,3)·(x<=0,4)f₅(x) = 1,2·(x>=0,4)·(x<=0,5)f₆(x) = f₇(x) = 1,5·(x>=0,5)·(x<=0,6)f₈(x) = 1,8·(x>=0,6)·(x<=0,7)f₉(x) = 2,1·(x>=0,7)·(x<=0,8)f₁₀(x) = 2,4·(x>=0,8)·(x<=0,9)f₁₁(x) = 2,7·(x>=0,9)·(x<=1,0)Zoom: x(0…1,2) y(0…3,2)

In der Abbildung sind 9 Rechtecke zu sehen. Das erste hat die Höhe $f(0,1)$, und die Breite $0,1$. Das zweite hat die Höhe $f(0,2)$ und die Breite 0,1. Das geht so weiter bis zum 9-ten mit der Höhe $f(0,9)$ und ebenfalls der Breite $0,1$. Die Näherung für die Fläche wäre also:$$F_9=\sum\limits_{n=1}^{9}f(0,1\cdot n)\cdot0,1$$Wenn du jetzt nicht nur $9$ Rechtecke nimmst, sondern $N$ Rechtecke, lautet die Näherung:$$F_N=\sum\limits_{n=1}^{N-1}f\left(\frac{1}{N}\cdot n\right)\cdot\frac{1}{N}$$

Konkret für die Funktion $f(x)=3x$ erhalten wir:$$F_N=\sum\limits_{n=1}^{N-1}\underbrace{3\cdot\frac{n}{N}}_{=f(n/N)}\cdot\frac{1}{N}=\frac{3}{N^2}\sum\limits_{n=1}^{N-1}n$$Mit der berühmten Summenformel von Gauß:$$\sum\limits_{n=1}^{N-1}n=\frac{N(N-1)}{2}$$können wir die Summe als geschlossenen Audruck schreiben:

$$F_N=\frac{3}{N^2}\,\frac{N(N-1)}{2}=\frac{3}{N^2}\,\frac{N^2-N}{2}=\frac{3}{2}\,\frac{N^2-N}{N^2}=\frac{3}{2}\,\left(\frac{N^2}{N^2}-\frac{N}{N^2}\right)$$$$\phantom{F_N}=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{N}\right)$$Unsere Näherung wird perfekt, wenn wir $N\to\infty$ viele Rechtecke unter die Fläche setzen:$$F_\infty=\lim\limits_{N\to\infty}(F_N)=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\,\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{N}\right)F_N\,\right)=\frac{3}{2}$$Die Fläche unter der zweiten Geraden ist also $F=\frac{3}{2}$.

Probiere die erste Fuktion $f(x)=4$ mit diesem Wissen bitte mal alleine. Das ist der einfachere Fall. Wenn du dazu Fragen hast, melde dich einfach nochmal...

Answer 2

Hallo

a) Intervall von 0 bis 1: Obersumme Ountersumme=4*Summe über beliebig große oder kleine Intervalls, Summe=1 also Ergebnis 1*4

b) schreib mal die über und Untersumme hin,

$$Su=\frac{1}{n}*\sum_{i=0}^{n-1} 3i=\frac{3}{n}*\sum_{i=0}^{n-1} i$$und die Summe kannst du und dann n->oo eventuell noch die Obersumme

Gruß lul