Aloha :)
Bei der Riemann'schen Summe wird die Fläche durch Rechtecke unterhalb der Funktion angenähert:
~plot~ 3x ; 0,3*(x>=0,1)*(x<=0,2) ; 0,6*(x>=0,2)*(x<=0,3); 0,9*(x>=0,3)*(x<=0,4) ; 1,2*(x>=0,4)*(x<=0,5); ; 1,5*(x>=0,5)*(x<=0,6) ; 1,8*(x>=0,6)*(x<=0,7) ; 2,1*(x>=0,7)*(x<=0,8); 2,4*(x>=0,8)*(x<=0,9) ; 2,7*(x>=0,9)*(x<=1,0) ; [[0|1,2|0|3,2]] ~plot~
In der Abbildung sind 9 Rechtecke zu sehen. Das erste hat die Höhe \(f(0,1)\), und die Breite \(0,1\). Das zweite hat die Höhe \(f(0,2)\) und die Breite 0,1. Das geht so weiter bis zum 9-ten mit der Höhe \(f(0,9)\) und ebenfalls der Breite \(0,1\). Die Näherung für die Fläche wäre also:$$F_9=\sum\limits_{n=1}^{9}f(0,1\cdot n)\cdot0,1$$Wenn du jetzt nicht nur \(9\) Rechtecke nimmst, sondern \(N\) Rechtecke, lautet die Näherung:$$F_N=\sum\limits_{n=1}^{N-1}f\left(\frac{1}{N}\cdot n\right)\cdot\frac{1}{N}$$
Konkret für die Funktion \(f(x)=3x\) erhalten wir:$$F_N=\sum\limits_{n=1}^{N-1}\underbrace{3\cdot\frac{n}{N}}_{=f(n/N)}\cdot\frac{1}{N}=\frac{3}{N^2}\sum\limits_{n=1}^{N-1}n$$Mit der berühmten Summenformel von Gauß:$$\sum\limits_{n=1}^{N-1}n=\frac{N(N-1)}{2}$$können wir die Summe als geschlossenen Audruck schreiben:
$$F_N=\frac{3}{N^2}\,\frac{N(N-1)}{2}=\frac{3}{N^2}\,\frac{N^2-N}{2}=\frac{3}{2}\,\frac{N^2-N}{N^2}=\frac{3}{2}\,\left(\frac{N^2}{N^2}-\frac{N}{N^2}\right)$$$$\phantom{F_N}=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{N}\right)$$Unsere Näherung wird perfekt, wenn wir \(N\to\infty\) viele Rechtecke unter die Fläche setzen:$$F_\infty=\lim\limits_{N\to\infty}(F_N)=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\,\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{N}\right)F_N\,\right)=\frac{3}{2}$$Die Fläche unter der zweiten Geraden ist also \(F=\frac{3}{2}\).
Probiere die erste Fuktion \(f(x)=4\) mit diesem Wissen bitte mal alleine. Das ist der einfachere Fall. Wenn du dazu Fragen hast, melde dich einfach nochmal...
