Riemannsche Summe für sin(x)

Question

Ich soll für die Funktion f(x)=sin(x)  auf dem Intervall [0; π/4] den Flächeninhalt ausrechen.

Für die Summe ergibt sich: ∑_i=1ⁿ  nπ/4 * sin(nπi/4)
Aus einer vorherigen Aufgabe ergibt sich, dass ∑_i=1ⁿ  sin(ix) = sin(nx/2) sin((n+1)x/2) / sin(x/2)

->  nπ/4 * sin(n nπi/4 /2) sin((n+1) nπi/4 /2) / sin(nπi/4 /2)
Nach dem einsetzen muss man den Grenzwert für n->∞ betrachten, was mir jedoch Probleme bereitet.
Welchen Grenzwert nimmt diese Folge an?

Answer 1

Teile das Intervall \( \left[ 0 , \frac{\pi}{4} \right] \) in \( n \) gleiche Teile, dann ergibt sich eine Intervallbreite von \( \Delta = \frac{\pi}{4n} \)

Die Obersumme ergibt sich damit zu \( O_n = \sum_{i=1}^n \Delta \cdot \sin(i \Delta) = \Delta \frac{\sin\left( \frac{n}{2} \Delta \right) \sin\left( \frac{n+1}{2} \Delta \right) }{ \sin\left( \frac{\Delta}{2} \right)}  \)

Wegen \( \sin\left( \frac{\Delta}{2} \right) = \frac{\Delta}{2} + \mathcal{O} \left( \frac{\Delta}{2} \right)^2 \) folgt

\( \frac{\Delta}{\sin\left( \frac{\Delta}{2} \right)} = \frac{\Delta}{\frac{\Delta}{2} + \mathcal{O} \left( \frac{\Delta}{2} \right)^2} = \frac{2}{1 + \mathcal{O} \left( \frac{\Delta}{2} \right)} \to 2 \) für \( \Delta \to 0 \)

Weiter gilt \( \frac{n}{2}\Delta = \frac{\pi}{8} \)

also insgesamt \( O_n \to 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \)

Bei der Untersumme geht's genauso.

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Ich habe jedoch noch offene Fragen:

1.  Warum gilt sin(Δ/2) = Δ/2 + O(Δ/2)²  (und was ist mit O() gemeint) ?

2. Wie ist der obere Teil des Bruches aufgelöst / umgeformt worden, das dort nur noch Δ/sin(Δ/2) steht?

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Hi,

1) Das ist die Taylorrentwicklung bis zum ersten Glied und \( \mathcal{O}(x) \) bedeutet, dass der Term von der Grössenordnung \( x \) oder höher ist.

2) Bei der Obersumme habe ich Deinen Hinweis aus der vorherigen Aufgabe genutzt, und das \( \Delta \) kann man vor die Summe ziehen.