Funktion ist in keiner Umgebung um 0 monoton wachsend

Question

Ich soll zeigen, dass meine Funktion f in keiner Umgebung von 0 monoton wachsend ist.

Ich hab in einem Buch gelesen, dass f monoton wachsend ist, wenn f' ≥ 0 ist. Ich hab meine Ableitung berechnet und habe heraus, dass sie größer 0 ist. Soll ich dann sagen, dass die Aussage falsch ist ? Oder wie muss ich an die Sache rangehen ?

f(x) sieht folgendermaßen aus:

x/2 + x^2 * sin(1/x ), für x ≠ 0

0, für x=0

Comments

$$\text{Tipp: Für alle }n\in\mathbb N \text{ gilt }f'\left(\frac1{(2n-1)\pi}\right)=\frac32\text{ und }f'\left(\frac1{2n\pi}\right)=-\frac12.$$

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Reicht es dann zu sagen, dass mit der zweiten Folge eine Nullfolge existiert, deren Ableitung größer als Null ist für n gegen unendlich ist und daher in jeder noch so kleinen Umgebung um Null, eine Stelle x existiert, deren Ableitung größer als Null ist?