Existenz eines Minimums

Question

könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Es sei f:ℝ→ℝ stetig und es gelte f(x)→+∞ für x→±∞. Zeigen Sie, dass f ein Minimum besitzt.

Mir ist die Existenz eines Minimums völlig einleuchtend, auf einer Skizze ist das auch ersichtlich. Aber ich finde leider keinen Ansatz für einen formalen Beweis.

Alex

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Nachfrage : ist

f ( x ) = x eine solche Funktion

lim x−> + ∞  [ x ] = + ∞
lim x−> − ∞  [ x ] = − ∞

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f(x) = x ist nicht solche Funktion, sie besitzt weder ein Minimum (für ℝ→ℝ) noch strebt sie beidseitig gegen +∞.

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f(x)→+∞

Hab ich mich verguckt.

Answer 1

Hi,

Beweisskizze mit Ansätzen:

1. Dank der Grenzwertdefinition kannst du ein \(x_0 \in \mathbb{R} \) finden,

so dass \( f(x) \geq f(x_0) \quad \forall x\) mit \( |x| > c:=|x_0|\)

2. f nimmt ein Minimum auf \([-c, c ]\) ein.

3. Dieses Minimum muss nach 1. das globale Minimum von f sein.

Gruß

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Damit hat es funktioniert.

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Hey schön zu hören :) immer gerne.