zeige Existenz eines eindeutig bestimmten globalen Minimums

Question

Es seien a1, a2,..., ak ∈ R ⁿ  und f : R ⁿ → R definiert durch f(x)= ∑ _j=1 ^k || x-a _j ||²

mit der euklidischen Norm ||.||

Zeigen Sie, dass f ein eindeutig bestimmtes globales Minimum besitzt, und berechnen Sie es.

Answer 1

Zeige z.B.: Es gibt ein \(R>0\) mit \(f(x)>f(0)\) für alle \(x\) mit \(\lVert x\rVert>R\). Auf der kompakten Kreisscheibe \(\overline{B_R(0)}\) nimmt \(f\) das Minimum an, sagen wir im Punkt \(\xi\). Wegen \(f(\xi)\le f(0)<f(x)\) für alle \(x\) mit \(\lVert x\rVert>R\) ist \(f(\xi)\) sogar das globale Minimum. Die Eindeutigkeit von \(\xi\) ergibt sich beim Ausrechnen; es gibt naemlich nur ein \(\xi\) mit \(\nabla f(\xi)=0\).