Als bekannt setze ich voraus, dass
\(x=e^{\ln x}\) gilt, und \(\ln x\) stetig \((0,\infty)\) auf \(\mathbb{R}\) abbildet.
Insbesondere gibt es zu jedem x eine Folge rationaler Zahlen \(r_n\) mit
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n = \ln x\)
Jede rationale Zahl r kann dargestellt werden als
$$r = \frac mn \text{ mit } m\in\mathbb Z,\; n \in \mathbb N$$
Nun gilt
$$f(e)=f(e^{\frac nn}) = nf(e^{\frac 1n})\Rightarrow f(e^{\frac 1n}) = \frac 1n f(e)$$
$$f(e^0) = f(1) = f(1\cdot 1) = 2f(1) \Rightarrow f(1) = 0$$
$$0 = f(1) = f(e^{n-n})=f(e^n\cdot e^{-n}) = nf(e) + f(e^{-n})\Rightarrow f(e^{-n})= -nf(e)$$
Das alles zusammen ergibt mit r wie oben:
$$r=\frac mn\Rightarrow f(e^r) = f(e^{\frac mn}) = \frac mn f(e) = rf(e)$$
D.h., wenn \(x= e^r \), also wenn \(r=\ln x\), dann gilt
$$f(x) = f(e^{\ln x}) = \ln x \cdot f(e)$$
Sei nun \(x\in (0,\infty)\) beliebig. Dann haben wir, da f stetig ist, mit der rationalen Folge \(r_n\) von oben
$$f(x) = f(e^{\ln x}) = \lim_{n\to\infty}f(e^{r_n}) =\lim_{n\to\infty}\left(r_n \cdot f(e)\right) = \ln x \cdot f(e)$$
