Zeige f(x) = k · ln(x) für alle x ∈ (0, ∞) mit k = f(l)

Question

Aufgabe:

f: (0,∞) → ℝ

Es gilt f(x · y) = f(x) + f(y)

Zeige f(x) = k · ln(x) für alle x ∈ (0, ∞) mit k = f(l)

Comments

Was soll den f(l) sein?

---

Keine Ahnung

Als Tipp steht noch:

f(y^q) = q · f(y) zuerst zeigen für q ∈ ℚ

---

Kann es sein, dass in der Aufgabe f auch noch als stetig vorausgesetzt ist?

---

Ja korrekt habe ich überlesen

---

Was soll denn l sein?

---

l = e eulersche Zahl

Answer 1

Als bekannt setze ich voraus, dass

$x=e^{\ln x}$ gilt, und $\ln x$ stetig $(0,\infty)$ auf $\mathbb{R}$ abbildet.

Insbesondere gibt es zu jedem x eine Folge rationaler Zahlen $r_n$ mit

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n = \ln x$

Jede rationale Zahl r kann dargestellt werden als

$$r = \frac mn \text{ mit } m\in\mathbb Z,\; n \in \mathbb N$$

Nun gilt

$$f(e)=f(e^{\frac nn}) = nf(e^{\frac 1n})\Rightarrow f(e^{\frac 1n}) = \frac 1n f(e)$$

$$f(e^0) = f(1) = f(1\cdot 1) = 2f(1) \Rightarrow f(1) = 0$$

$$0 = f(1) = f(e^{n-n})=f(e^n\cdot e^{-n}) = nf(e) + f(e^{-n})\Rightarrow f(e^{-n})= -nf(e)$$

Das alles zusammen ergibt mit r wie oben:

$$r=\frac mn\Rightarrow f(e^r) = f(e^{\frac mn}) = \frac mn f(e) = rf(e)$$

D.h., wenn $x= e^r$, also wenn $r=\ln x$, dann gilt

$$f(x) = f(e^{\ln x}) = \ln x \cdot f(e)$$

Sei nun $x\in (0,\infty)$ beliebig. Dann haben wir, da f stetig ist, mit der rationalen Folge $r_n$ von oben

$$f(x) = f(e^{\ln x}) = \lim_{n\to\infty}f(e^{r_n}) =\lim_{n\to\infty}\left(r_n \cdot f(e)\right) = \ln x \cdot f(e)$$

Comments

Vielen Dank, nun ist es verständlicher!