Bestimmen Sie jeweils in Abhängigkeit von a aus R und mit Hilfe des Rangkriteriums, wie das LGS lösbar ist

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die beiden folgenden linearen Gleichungssysteme:

a)

\( x_{1}-x_{2}-x_{3}-3 x_{4}=7 \)
\( 2 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}-3 x_{4}=2 \)
\( x_{1}+2 x_{2}+5 x_{3}=a \)

b)

\( 3x_{1}-6 a x_{2} =3 a \)
\( a x_{2}-x_{3} =1 \)
\( -2x_{1} + 4ax_{3} = 0 \)

Bestimmen Sie jeweils in Abhängigkeit von \( a \in \mathbb{R} \) und mit Hilfe des Rangkriteriums, ob das jeweilige lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar oder unlösbar ist.

Ansatz:

Ich habe da raus, dass der Rang jeweils 3 ist unabhängig wie a gewählt ist. Kann das einer bestätigen oder widerlegen? Demnach nur eine Lösung?

Comments

bei a kann ich zustimmen, aber bei
b kriege ich für a=0 und für a=1 bei der
Matrix jeweils rang 2 heraus (sonst 3)
und bei der erwiterten Matrix
bei a=0 den rang 2 und bei a=1 den rang 3
also gibt es bei a=0 unendlich viele Lösungen und
bei a=1 keine

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wie sieht denn bei b) deine Matrix A und Matrix(A/b) aus?

Meine: Matrix A

3 -6a 0

0 a -1

0 0 -2

Matrix(A/b)

1 -2a 0 ! a

0 a -1  ! 1

0 0 -2 ! 0

Answer 1

Voraussetzung ist ja der rang von a muss gleich n sein. Wenn s 3 bzw. -3 ist ist ja der  von A 2.

und für s=2 und s=-2 auch. 

In allen anderen Fällen ist rg=3 also A invertierbar.

c)   für s=-2 hängst du die Spalte 1,2,1 an die Matrix als 4. Spalte an und bestimmst zeilenstufenform,

das gibt

1   -2   1   -1

0  0    4     1

0   0   0     1

die letzte Gleichung hieße ja

0x1+0x2+0x3=1 das ist aber nicht möglich, also gibt es keine Lösungen.