Wert einer geometrischen Summe berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Wert der folgende Summe:

\( \sum \limits_{k=3}^{4530}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k-1}\right) \)

Answer 1

Hi,

Die von dir angegebene Summe ist keine geometrische Summe.

$$ \sum _{ k=3 }^{ 4530 } {(\frac { 1 }{ k } } -\frac { 1 }{ k-1 } ) $$

ist eine Teleskopsumme. Du kannst sie in 2 Summen aufteilen und einen Indexshift durchführen:

$$ \sum _{ k=3 }^{ 4530 } \frac { 1 }{ k-1 }= \sum _{ k=2 }^{ 4529 } \frac { 1 }{ k }$$

Gruß

Comments

Also Teleskopsumme hab ich in der Vorlesung noch nie gehört, kann dazu auch nichts im Skript finden. In der Regel halten sich unsere Übungsaufgaben auch an den Stoff den wir durchnehmen.

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Ist nicht schlimm man muss den Begriff nicht kennen um die Aufgabe zu lösen. ;)

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Aber was hat es denn mit der zweiten Formel auf sich? Wie benutzt man die?

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Was wäre das denn für eine Summe:

\( \sum \limits_{k=0}^{9} \sum \limits_{\ell=0}^{9}(9 k+\ell) \)

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Sowas nennt man Doppelsumme :D was lernt ihr eigentlich?

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:D Das mit den Reihen und Summen ging ziemlich schnell :D. Bis dahin bin ich eig. immer gut mitgekommen.

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Haha ok :D ich denke Doppelsumme kann man sich gut merken ;)

Answer 2

du kannst dir das auch einfach mal etwas genauer aufschreiben:

(1/3)-(1/2)   + (1/4)-(1/3)  + (1/5)-(1/4) + (1/6)-(1/5) + ....+ (1/4539) - (1/4528)+ (1/4530) - (1/4529)

wenn du dir das mal etwas genauer besiehst, merkst du der Subtrahend in der Klammer

ist immer genauso wie der Minuend von der vorigen Klammer. Die heben sich

also alle gegenseitig auf und es bleibt nur

-(1/2) und am Ende 1/4530 wenn du die beiden zusammenrechnest hast du die Summe.