Beweis unter Verwendung der geometrischen Summenformel

Question

Hallo liebe Leute,

ich muss ii beweisen. Um ii zu beweisen, muss ich so umformen, dass ich i verwenden kann(i bereits bewiesen). Nur leider weiß ich nicht wie ich ii so umformen kann, dass ich i verwenden kann. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich vorgehen kann?

[i]   ∀q ∈ R\{1} :\( \sum\limits_{k=0}^{n-1}{} \) q^k = (1 − qⁿ)/(1 − q)

Beweisen Sie unter Verwendung von [i]

[ii]   ∀a, b ∈ R : aⁿ − bⁿ = (a − b)\( \sum\limits_{k=0}^{n-1}{} \) a^kb^n-1-k

Answer 1

eigentlich ganz leicht, wenn man drauf kommt ;-). Setze \(q=\frac{a}{b}\) und klammere \(b^n\) aus $$\begin{aligned} a^n - b^n &= (a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1}{a^k b^{n-1-k}} \\ &= b^n(\frac{a}{b}-1) \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{a}{b} \right)^k \left( \frac{b}{b}\right)^{n-1-k} \\   &= b^n(q-1) \sum_{k=0}^{n-1} q^k \quad \rightarrow \text{[ii]} \\ &= b^n(q-1)\frac{1-q^n}{1-q} \\ &= b^n(q^n - 1) \\ &= a^n - b^n \quad \text{q.e.d.} \end{aligned}$$ Bem.: in der zweiten Zeile teilt sich das \(b^n\) auf in \(b^1 \cdot b^{k} \cdot b^{n-1-k} = b^n\).

Comments

Vielen Dank, für die schnelle und ausführliche Antwort!

Ich verstehe allerdings nicht ganz, was du gemacht hast um auf die zweite Zeile zu kommen :/

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... verstehe allerdings nicht ganz, was du gemacht hast um auf die zweite Zeile zu kommen

ich habe \(b^n\) ausgeklammert. Im Detail: $$\begin{aligned} a-b&=b^1(\frac{a}{b} - 1) \\ a^k = b^k \cdot \frac{a^k}{b^k} &= b^k \cdot \left(  \frac{a}{b}\right)^k \\ b^{n-1-k} = b^{n-1-k}  \cdot \frac{b^{n-1-k} }{b^{n-1-k} } &= b^{n-1-k} \left( \frac bb \right)^{n-1-k}\end{aligned}$$ klar? und \(b^1 \cdot b^k \cdot b^{n-1-k} = b^n\); steht oben schon.

Answer 2

(a^n -b^n)/(a-b)

=(b^n-a^n)/(b-a)

=b^n (1-(a/b)^n)/(b-a)

=b^{n-1} (1-(a/b)^n)/(1-a/b)

=b^{n-1} Summe (k=0 bis n-1) (a/b)^k

= Summe (k=0 bis n-1) a^k b^{n-k-1}