Beweis unter Verwendung der geometrischen Summenformel

Question

Hallo liebe Leute,

ich muss ii beweisen. Um ii zu beweisen, muss ich so umformen, dass ich i verwenden kann(i bereits bewiesen). Nur leider weiß ich nicht wie ich ii so umformen kann, dass ich i verwenden kann. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich vorgehen kann?

[i]   ∀q ∈ R\{1} :$\sum\limits_{k=0}^{n-1}{}$ q^k = (1 − qⁿ)/(1 − q)

Beweisen Sie unter Verwendung von [i]

[ii]   ∀a, b ∈ R : aⁿ − bⁿ = (a − b)$\sum\limits_{k=0}^{n-1}{}$ a^kb^n-1-k

Answer 1

eigentlich ganz leicht, wenn man drauf kommt ;-). Setze $q=\frac{a}{b}$ und klammere $b^n$ aus $$\begin{aligned} a^n - b^n &= (a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1}{a^k b^{n-1-k}} \\ &= b^n(\frac{a}{b}-1) \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{a}{b} \right)^k \left( \frac{b}{b}\right)^{n-1-k} \\ &= b^n(q-1) \sum_{k=0}^{n-1} q^k \quad \rightarrow \text{[ii]} \\ &= b^n(q-1)\frac{1-q^n}{1-q} \\ &= b^n(q^n - 1) \\ &= a^n - b^n \quad \text{q.e.d.} \end{aligned}$$ Bem.: in der zweiten Zeile teilt sich das $b^n$ auf in $b^1 \cdot b^{k} \cdot b^{n-1-k} = b^n$.

Comments

Vielen Dank, für die schnelle und ausführliche Antwort!

Ich verstehe allerdings nicht ganz, was du gemacht hast um auf die zweite Zeile zu kommen :/

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... verstehe allerdings nicht ganz, was du gemacht hast um auf die zweite Zeile zu kommen

ich habe $b^n$ ausgeklammert. Im Detail: $$\begin{aligned} a-b&=b^1(\frac{a}{b} - 1) \\ a^k = b^k \cdot \frac{a^k}{b^k} &= b^k \cdot \left( \frac{a}{b}\right)^k \\ b^{n-1-k} = b^{n-1-k} \cdot \frac{b^{n-1-k} }{b^{n-1-k} } &= b^{n-1-k} \left( \frac bb \right)^{n-1-k}\end{aligned}$$ klar? und $b^1 \cdot b^k \cdot b^{n-1-k} = b^n$; steht oben schon.

Answer 2

(aⁿ -bⁿ)/(a-b)

=(bⁿ-aⁿ)/(b-a)

=bⁿ (1-(a/b)ⁿ)/(b-a)

=b^n-1 (1-(a/b)ⁿ)/(1-a/b)

=b^n-1 Summe (k=0 bis n-1) (a/b)^k

= Summe (k=0 bis n-1) a^k b^n-k-1