Aufgabe:
Die Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) seien monoton fallend mit strikt positiven Folgegliedern. Die Reihen \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) und \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n} \) seien divergent.
Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \min \left\{a_{n}, b_{n}\right\} \) divergent oder konvergent sein kann.
Hinweis. Finden Sie zum Beweis der Möglichkeit der Konvergenz ein Beispiel mit zwei divergenten Reihen derart, dass die Reihe der Minima konvergiert. Sie können es zum Beispiel mal mit
\( a_{1}=b_{1}=1 \)
\( a_{n}=\frac{1}{2^{2}}, b_{n}=\frac{1}{n^{2}} \quad \text { für } n=2, \ldots, 2^{2}+1=5 \)
\( a_{n}=\frac{1}{n^{2}}, b_{n}=\frac{1}{6^{2}} \quad \text { für } n=6, \ldots, 6^{2}+5=41 \)
versuchen. Wie gehen die Folgen weiter (finden Sie eine allgemeine rekursive Formel)?
