Lineare und quadratische Approximation

Question

Bestimmen Sie für die Funktion h die lineare t1(x) und die quadratische t2(x) Approximation an der Stelle x0 = 0:

h(x)= tan(x)/x-1
Vergleichen Sie die Werte h(0.1), t1(0.1) und t2(0.1).

Answer 1

t1(x) und die quadratische t2(x) Approximation an der Stelle x0 = 0:

mit Klammer ??????????

h(x)= tan(x)/(x-1)  

Vergleichen Sie die Werte h(0.1), t1(0.1) und t2(0.1).

t1(x) = h(0) + h ' (0) * x     

h ' (x) = ( (x-1)/cos^2(x) - tan(x)  )  /  ( x-1)^2  = (-1+x-sin(x)*cos(x))  / ( (x-1)^2 * cos^2(x) )

also h ' (0) = -1    damit  t1(x) = 0 + (-1)* x  =  -x

h ' ' (x) = 2*(sin(x)*cos^2(x)-(x-1)*cos(x)+(x-1)^2*sin(x)) / ((x-1)^3 * cos^3(x) )

also h ' ' (0) = -2

t2(x) = h(0) + h ' (0) * x     + ( -2/2! )* x^2 =   - x    - x^2

Comments

Wie kommst du im zweiten Schritt der Ableitung, auf die "-sin(x)*cos(x)?

Und wird nach dem zweiten Schritt noch weiter vereinfacht?

Schon mal vielen Dank für deine Hilfe!

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statt tan kannst du doch sin/cos nehmen und dann zusammenfassen.

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Achso ja klar stimmt.

Ich danke dir vielmals für deine Hilfe!

Answer 2

Lautet die Funktion

h(x) = tan(x) / (x - 1)

Das ist ein Unterschied. Ich mache mal die Approximation. Die Approximation stellst du selber auf über das Taylor-Polynom

p(x) = f(0) / 0! · x^0 + f'(0) / 1! · x^1 + f''(0) / 2! · x^2

hp(x) = - x [- x^2]

Skizze: