Vermutlich kennst du ja die "klassische" Definition der Ableitung etwa in der Form
$$f'(ξ)=\lim\limits_{x\toξ}\frac{f(x)-f(ξ)}{x-ξ}$$
Dass eure Definition dem entspricht, siehst du leicht ein:
Bringe das Landausymbol auf eine Seite:
\[f(x)=f(\xi)+L_{\xi}(x-\xi)+o(x-\xi) \quad \text { für } x \rightarrow \xi\]
==>
\[f(x)-f(\xi)-L_{\xi}(x-\xi)=o(x-\xi) \quad \text { für } x \rightarrow \xi\]
Dann sagt eure Def. des kleinen o ja aus
$$f'(ξ)=\lim\limits_{x\toξ}\frac{f(x)-f(\xi)-L_{\xi}(x-\xi)}{x-ξ}=0$$
$$<=> f'(ξ)=\lim\limits_{x\toξ}\frac{f(x)-f(ξ)}{x-ξ}-\lim\limits_{x\toξ}\frac{L_{\xi}(x-\xi)}{x-ξ}=0$$
Beim 2. Grenzwert kürzen gibt
$$<=> f'(ξ)=\lim\limits_{x\toξ}\frac{f(x)-f(ξ)}{x-ξ}-L_{\xi}=0$$
und damit wie gewohnt
$$f'(ξ)=\lim\limits_{x\toξ}\frac{f(x)-f(ξ)}{x-ξ} = L_{\xi}$$