Definition der Landau-Symbolik und lineare Approximation

Question

Guten Morgen liebe Mathelounge Community,

ich habe bald meine Analysis I Prüfung und bin über eine Definition gestolpert die ich mir leider nicht erklären kann ich hoffe jemand kann mich erleuchten.

Folgendes: Wir haben in der Vorlesung Landau Symbole behandelt (klein o und groß O) und sie folgendermaßen definiert:

Definition 3.12 (Landau -Symbole). Es enthalte D Teilmenge von R eine punktierte Umgebung des Punktes \( \xi \in \mathbb{R} \) und es seien \( f, g: D \rightarrow \mathbb{R} \) zwei Funktionen. Ist \( g \neq 0 \) in einer punktierten Umgebung von \( \xi, \) so definiert man
$$ f(x)=o(g(x)) \text { für } x \rightarrow \xi \quad: \Longleftrightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \xi} \frac{f(x)}{g(x)}=0 $$
Weiters schreibt man
$$ f(x)=\mathcal{O}(g(x)) \text { für } x \rightarrow \xi $$
falls es eine Konstante \( C>0 \) gibt, sodass
$$ |f(x)| \leq C|g(x)| $$
für alle \( x \) in einer punktierten Umgebung von \( \xi \) gilt. Die Landau-Symbole o und \( \mathcal{O} \) werden analog für \( \xi=\pm \infty \) definiert.

Nun haben wir auch die Ableitung als lineare Approximation definiert:

Satz 3.13 (Ableitung als lineare Approximation). \( \quad \) Es sei \( f: D \subset \) \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion und \( D \) eine Umgebung des Punktes \( \xi \in D . \) Dann ist \( f \) genau dann in \( \xi \) differenzierbar, wenn es ein \( L_{\xi} \in \mathbb{R} \) gibt, sodass \[f(x)=f(\xi)+L_{\xi}(x-\xi)+o(x-\xi) \quad \text { für } x \rightarrow \xi\]
Im Fall der Differenzierbarkeit ist dann \( L_{\xi}=f^{\prime}(\xi) \) und es gilt folglich\[f(x)=T_{f, \xi}(x)+o(x-\xi) \quad \text { für } x \rightarrow \xi\].


Mein Problem: Ich verstehe das Auftauchen des kleinen o bei der linearen Approximation nicht ganz. Was ich weiß, ist dass die Terme davor mit der Tangente gleichzusetzen sind und dass der Term mit dem klein o der "Rest" ist wo die Umgebung um f(xi) approximiert wird. Graphisch weiß ich also ungefähr was passiert, formal verstehe ich die Addition des kleinen o Terms nicht bzw. warum der Term graphisch den Effekt hat den er hat.

Danke für eure Zeit!

Answer 1

Vermutlich kennst du ja die "klassische" Definition der Ableitung etwa in der Form

$$f'(ξ)=\lim\limits_{x\toξ}\frac{f(x)-f(ξ)}{x-ξ}$$

Dass eure Definition dem entspricht, siehst du leicht ein:

Bringe das Landausymbol auf eine Seite:

\[f(x)=f(\xi)+L_{\xi}(x-\xi)+o(x-\xi) \quad \text { für } x \rightarrow \xi\]

==>

\[f(x)-f(\xi)-L_{\xi}(x-\xi)=o(x-\xi) \quad \text { für } x \rightarrow \xi\]

Dann sagt eure Def. des kleinen o ja aus

$$f'(ξ)=\lim\limits_{x\toξ}\frac{f(x)-f(\xi)-L_{\xi}(x-\xi)}{x-ξ}=0$$

$$<=> f'(ξ)=\lim\limits_{x\toξ}\frac{f(x)-f(ξ)}{x-ξ}-\lim\limits_{x\toξ}\frac{L_{\xi}(x-\xi)}{x-ξ}=0$$

Beim 2. Grenzwert kürzen gibt

$$<=> f'(ξ)=\lim\limits_{x\toξ}\frac{f(x)-f(ξ)}{x-ξ}-L_{\xi}=0$$

und damit wie gewohnt

$$f'(ξ)=\lim\limits_{x\toξ}\frac{f(x)-f(ξ)}{x-ξ} = L_{\xi}$$

Comments

Vielen Dank, das hat geholfen. :)