Zeige {A ∈ O(n) | es gibt ein B ∈ O(n) mit A = B2} = {A ∈ O(n) | det(A) = 1}.

Question

Sei n ∈ N. Zeigen Sie, dass gilt

 {A ∈ O(n) | es gibt ein B ∈ O(n) mit A = B^2} = {A ∈ O(n) | det(A) = 1}.

Gibt es zu jedem A ∈ U(n) ein B ∈ U(n) mit A = B2 ?

WEr kann helfen? Danke.

Comments

wer sind denn O(n) und U(n) ?

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Ich schätze mal:

O(n): Orthogonale nxn-Matrix

U(n): Unitäre nxn-Matrix

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Ja genau.

Könnt ihr vielleicht jetzt weiterhelfen?

Answer 1

1. Menge enthalten in 2. Menge geht vielleicht so:
Sei A ∈ O(n)  und es gibt ein B ∈ O(n) mit A = B² dann
ist wegen orthogonalität von A jedenfalls A * A^T = E
also auch   B^2 * A^T = E    
also  B * B * A^T  = E
und damit det (   B * B * A^T )  = 1   wegen det(B*B) = det(A) = det(B) ^2  und det(A^T ) = det (A)
also   det(B)^2 * det (A) = 1  also det(A) * det(A) = 1, also det(A)=1 oder -1
wegen det (A) = det(B) ^2 > 0   also det(A) = 1

andere Inklusion ?

Comments

Das sieht schonmal gut aus. Danke,.