Nullstellen von Polynomen, Vielfachheiten und Elementarteiler

Question

ich komme mit folgender Aufgabe nicht ganz zurecht.

Ermitteln Sie die Nullstellen folgender Polynome! Welche Vielfachheiten besitzen die Nullstellen? Geben Sie eine Zerlegung des Polynoms in Elementarteiler \( \left(x-x_{i}\right) \) an!
a) \( p(x)=x^{3}+3 x^{2}-13 x-15 \)
b) \( w(x)=x^{4}-3 x^{3}-3 x^{2}+11 x-6 \)

bei a) habe ich die Polynomdivision mit (x+1) angewandt

Ergebnis x^2 + 2x -15

Aber wie komme ich auf die Nullstellen?

Was ist mit Vielfachheiten gemeint und wie soll man das mit der Zerlegung verstehen?

Ich würde mich über (eine) Antwort(en) sehr freuen.

Answer 1

mit der Polynomdivision durch (x+1) hast du p(x) in Faktoren zerlegt:

p(x):(x+1) = x²+2x-15 bedeutet doch: p(x) = (x+1)*(x²+2x-15), oder?

Nun gibt es den ebenso einleuchtenden wie nützlichen Satz vom Nullsprodukt (Link dazu), aus dem folgt:

p(x) = 0 <=> x+1=0 oder x²+2x-15=0

Im ersten Fall siehst du: x=-1, im zweiten erhältst du mit p-q-Formel oder quadratischer Ergänzung:

x=-5 oder x=3.

Jede dieser Nullstellen entspricht einem Ausdruck der Form (x-x₀), also einem sogenannten Linearfaktor (bei dir: "Elementarteiler".

x+5 wird Null für x=-5, x-3 wird Null für x=3

Insgesamt hast du damit p(x) in Faktoren zerlegt: p(x)= (x+1)(x-5)(x-3)

Die Vielfachheit einer Nuslltelle gibt an, wie oft der zugehörige Faktor auftaucht:
z.B. ist bei f(x) = (x+7,5)(x-3,25)² die Zahl -7,5 einen einfache Nullstelle und 3,25 eine doppelte Nullstelle (mehr dazu hier) 

Die zuerst gestellte Frage ist aber die entsheidende: Wie kommt man an die Nullstelle? 

Man braucht eine Nullstelle, um die Zerlegung durch Polynomdivision beginnen zu können. Vielleicht benutzt man Tricks (hast du einen Funktionenplotter wie Geogebra?)

Oder man probiert alles durch: Wenn man nach ganzzahligen Nullstellen sucht bei einem Polynom, das nur ganzzahlige Koeffizientren hat, so kommen nur die Teiler des Absolutglieds und dessen Negative in Frage.

Bei p also alle ganzen Zahlen, die 15 teilen: 1, -1, 3, -3, 5, -5, 15, -15.

Bei w alle Teiler von 6 und die Negativen: 1, -1, 2, -2 3, -3,6, -6. Irgendwas davon muss klappen, d.h. Null ergeben, wenn man es in die Funktion einsetzt. Est dann weiß man, wodurch man teilen soll.

Ich hoffe, das hilft dir weiter.