Steigung in einem Punkt//Tangenten einer Funktion

Question

habe mal 2 Fragen dargestellt, bei der ich mir zwar im Klarem bin was man machen soll, den Sinn hinter dem Rechenweg jedoch nicht erblicke

1)   Berechne bitte die Steigung im Punkt P

f(x)=x+(32/x)  P(4|12)                          f(x)=4x+(4/x²)   P(2|9)                       f(x)=(x⁵+x)/x²   P(1|2)

Ableitung bilden (Kann man auch den Differentialquotienten benützen?)

f'(x)= 1-32x^-2                                   f'(x)=4x-8x^-3                                        f'(x)=3x²-x^-2

^X_koordinate einsetzen... Ergebnis = Steigung? 

2.)  Gibt es zu der Geraden y=4x parallele Geraden, die Tangenten an den Graphen f(x)=x³-2x² sind? Die Gleichung der zu y parallelen Tangente an den Graphen f soll angegeben werden.

Beide Ableitungen bilden und gleichsetzten(Warum macht man das?) 4=3x²-4x

pq-Formel  x1/2 = 2 u. -2/3  Was macht man nun? Nach dem mir unbekannten schritt um y herauszubekommen, würde ich alles in die Gleichung y=mx+b setzen und umformen.

 

Luis

Answer 1

^X_koordinate einsetzen... Ergebnis = Steigung?  ja.

Die 1.Ableitung ist die Steigungsfunktion. Durch Einsetzung
eines x-Werts erhält man die Steigung am Punkt.

2.)
Für einen Schnittpunkt einer Geraden mit einer Funktion gilt
g ( x ) = f ( x )

Für einen Berührpunkt einer Tangenten mit einer Funktion gilt
t ( x ) = f ( x )
t ´( x ) = f ´( x )
Die Tangente hat im Berührpunkt dieselbe Steigung.
t ´ ( x ) = 4

4 = 3x^2 - 4x
x = -2/3
x = 2

Nun einsetzen in f
f ( -2/ 3) = (-2/3)^3 + 2 *(-2/3) = -1.63
Der Funktionswert an der Stelle ist -1.63
( -2/3  | -1.63 )
Dieser Punkt muß auch auf t liegen.

-1.63 = 4 * ( - 2/3 ) + b
b = 1.04
t ( x ) = 4 * x + 1.04

Dasselbe für x = 2 auch durchführen.

Insgesamt sieht die Beantwortung der Fragen aber
schon recht gut aus.

Comments

Jetzt ist es mir schon deutlich klarer.. Nur noch eine kleine Frage..

Wenn man 2x³ *(3x+4) ableiten soll, multiplizert man dann aus und leitet die Produkte ab oder erst den Inhalt der Klammer ableiten..? Wir hatten bisher nämlich nur die Konstanten- und Koeffizientenregel

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In obigen Fragen hast du die Konstantenregel, Potenzregel, Summenregel  und eventuell
auch die Quotientenregel genutzt.
Jetzt fehlt noch die Produktregel und die Kettenregel.
Bei manchen Aufgaben kann man unterschiedlich vorgehen.
In deinem Beispiel könnte man zuerst ausmultiplizieren oder
die Produktregel anwenden.
Aber das kommt ja im Unterricht noch.

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käme 24x³+24x² heraus? 

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Die Ableitung einmal mit der Produktregel
( u * v ) ´= u ´ * v + u * v ´

2* x^3 * ( 3 * x + 4 )
2 * [ x^3 * ( 3 * x + 4 ) ] = 2 * [ 3*x^2 * ( 3 * x + 4 )  +  x^3 * 3 ]
2 * [ 3 * x^3 + 12 * x^2 + 9 * x^3 ]
2 * [ 12 * x^3 + 12 * x^2 ]
24 * x^3 + 24 * x^2

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Alles klar, Dankeschön! :)

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Aber bei dem einsetzen von x hast du dich vertan, es muss -1,185 sein ;)

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Welchen Wert oder Zwischenwert meinst du ?

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_{Nun einsetzen in f 
f ( -2/ 3) = (-2/3)3 + 2 *(-2/3) = -1.63 
Der Funktionswert an der Stelle ist -1.63 
( -2/3  | -1.63 ) 
Dieser Punkt muß auch auf t liegen.} 

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Ich komme stets auf

f ( -2/ 3) = (-2/3)³ + 2 *(-2/3) = -1.63

-8 / 27  -  4 / 3 = -1.63

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Ja das mag wohl sein, aber es gibt in diesem Beispiel keine Funktion von x³+2x, da hast du dich wahrscheinlich verguckt

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Fehlerkorrektur
f ( -2/ 3) = (-2/3)³ + 2 *(-2/3) = -1.63

f ( -2/ 3) = (-2/3)³ + 2 *(-2/3)^2 =
- 8 / 27 + 0.8888 = 0.593

ich komme jetzt auf 0.593. Was hältst du davon ?

Bemerkungen

a.) Nobody is perfect. Gilt für mich und für dich und alle anderen.

b.) Falls du einen ( vermeintlichen ) Fehler entdeckt hast dann bitte
direkt sagen wo. So hat es 6 Kommentare gebraucht bis wir einmal
auf den Punkt gekommen sind.

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Hmm ich komme weiterhin auf -32/27

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Luisthebro, ich hatte gebeten :
b.) Falls du einen ( vermeintlichen ) Fehler entdeckt hast dann bitte
direkt sagen wo. So hat es 6 Kommentare gebraucht bis wir einmal
auf den Punkt gekommen sind.

Antwort :
Hmm ich komme weiterhin auf -32/27

Wäre es dir vielleicht möglich mir genau meinen Fehler zu sagen
oder die Gegenrechnung hier einzustellen ?

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Haha, Verzeihung gebetener Herr^^ 

Es heißt ja f(x)=x³-2x²

Wenn man nun -2/3einsetzt:

(-2/3)³-2*(-2/3)²≈-1,185

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Anstelle
f ( -2/ 3) = (-2/3)³ + 2 *(-2/3)
musste es also heißen
f ( -2/ 3) = (-2/3)³ - 2 *(-2/3)^2

Das war aber eine langwierige Angelegenheit für so
ein bißchen.

Demnächst schreibe ich einfach unter eine Antwort

Alle Angaben und Berechnungen ohne Gewähr.
Dann bin ich schon einmal entlastet.

mfg Georg

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Haha wir sind aber nicht beim Lotto ^^

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Luisthebro,
offensichtlich scheinst du von den Antwortgebern zu
verlangen das alle Antworten richtig sind.
Das ist noch nie jemandem gelungen.
NOCH NIE und WIRD AUCH NIE GELINGEN.

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Ich weiß, in keinster Weise habe ich Georg beleidigt oder deswegen diskriminiert, habe ihn darauf hingewiesen, was jedoch in einem "Schreibdurchfall" endete, die Lösung ist jetzt klar und du brauchst dich nicht weiter einmischen ;-)