Für welchen Wert des Parameters b geht die Normale zur Kurve k durch den Ursprung?

Question

Für welchen Wert des Parameters b geht die Normale zur Kurve$$k:y=x^3+bx$$im Punkt (-1/?) durch den Ursprung?

Ich weiss, dass die Normale zu einer Kurve im Punkt P durch P verläuft und die Gleichung hat: 

$$\frac {y-y_0}{x-x_0}= - \frac {1} {f'(x_0)}$$

Nun hätte ich versucht so viele Variablen in dieser Gleichung "loszuwerden", bis das gesuchte b übrigbleibt. 

x₀ ist (-1), y₀ können wir vermutlich anhand des Einsetzens von x₀ in unsere Gleichung herausfinden (in Abhängigkeit von b).$$f'(x_0)$$ist einfach die Ableitung unserer Funktion an der Stelle (-1). 

Doch was mache ich bitte mit "x" und "y"? Weder weiss ich, wie ich auf diese Zahlen komme, noch verstehe ich diese Gleichung. 

Answer 1

Das ist schon ein wundervoller Ansatz:
$$ \frac {y-y_0}{x-x_0}= - \frac {1} {f'(x_0)} $$
Dann sollte man noch wissen, dass eine Gerade immer durch den Ursprung muss, wenn bei der Geradengleichung $$y=mx+b$$ das b=0 ist.
Wir setzen also beschwingt in den Ansatz ein - am Schluss kommt eine Geradengleichung raus - schau mal:
$$ \frac {y-y_0}{x-x_0}= - \frac {1} {f'(x_0)} $$$$y=x^3+kx$$$$y'=3x^2+k$$ $$x_0=-1$$
$$ \frac {y-x_0^3+kx_0}{x-x_0}= - \frac {1} {3x_0^2+k} $$
$$ \frac {y-  (-1) ^3+k\cdot (-1)}{x-(-1)}= - \frac {1} {3\cdot (-1)^2+k} $$
$$ \frac {y+1-k}{x+1}= - \frac {1} {3+k} $$
$$ y+1-k= - \frac {x+1} {3+k} $$
$$ y= - \frac {x+1} {3+k} +k-1$$
$$ y= - \frac {x} {3+k}- \frac {1} {3+k} +k-1$$
Damit diese Gerade "ursprünglich" wird, muss das absolute Glied Null sein, also:
$$ 0= - \frac {1} {3+k} +k-1$$
$$ 1-k= - \frac {1} {3+k} $$
$$ k-1=  \frac {1} {3+k} $$
$$ (k-1)(3+k)= 1 $$
$$ (k)(3+k)-(3+k)= 1 $$
$$ k^2+3k-3-k= 1 $$
$$ k^2+2k-4= 0 $$
$$ (k^2+2k+1)-1-4= 0 $$
$$ (k+1)^2-5= 0 $$
$$ (k+1)^2=5 $$
$$ k+1=\pm\sqrt5 $$
$$ k_{1,2}=\pm\sqrt5 -1$$
Nun versuche das Schritt für Schritt nachzuvollziehen und finde den Fehler, den ich versteckt habe.

Und mach die Probe, ob das Ergebnis am Ende auch wahr ist !

Comments

Zunächst herzlichen Dank für Deine ausführliche Lösung!  Oha, ich werde hier noch getestet, (: 
Öhm, also ich denke, der Fehler entsteht beim Übergang von dieser zur nächsten Zeile: $$ y = -\frac { x+1 }{ 3+k }+k-1 $$ $$y = -\frac {x} {3+k}-\frac {1} {3+k}+k-1$$Und zwar müsste es ein "+" sein beim Auseinandernehmen des 3+k-Bruches. Hoffe, ich hab' mich jetzt nicht vollständig blamiert und etwas Richtiges als vermeintlichen Fehler identifiziert... [°__°]
Kurze Rekapitulation in eigenen Worten, um zu sehen, ob meine Gehirnwindungen mitgekommen sind (;-D): Du nimmst den Ansatz, setzt für y₀ unsere gegebene Gleichung ein (mit eingesetztem x₀=-1). Für f'(x₀) setzt Du die Ableitung unserer Gleichung (mit eingesetztem x₀ = -1) ein. Soweit total schlüssig. (: Nun kann man gen y auflösen in Abhängigkeit von x.
Nun kommt anscheinend die von Dir erwähnte Eigenschaft zum Zuge, nämlich dass durch den Ursprung verlaufende Geraden als absolutes Glied 0 haben. In Deiner schrittweisen Lösung setzt Du anscheinend nun y und x, die zwei verbliebenen Variablen neben k, gleich 0. Jetzt bin ich etwas verwirrt: Ich dachte nämlich, dass das absolute Glied dasjenige Glied ist, welches kein x inne hat. 
Nun auflösen nach k.  Wenn ich so vorgehe und den eingebauten Fehler ( :-) ) ausbügle, komme ich auf -2. Das scheint zu funktionieren. 
Bleibt also lediglich die Frage, ob ich das richtig nachvollzogen habe und ob ich das mit dem absoluten Glied falsch verstehe. Auf jeden Fall nochmals danke! 

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Du hast das sehr gut nachvollzogen und nur ab hier einen kleinen Stolperer :
$$ y= - \frac {x+1} {3+k} +k-1 $$
ich schreibe das mal deutlicher:
$$ y= (-1) \cdot \left(\frac {x+1} {3+k}\right) +k-1 $$
$$ y= (-1) \cdot \left(\frac {x} {3+k}+\frac {1} {3+k}\right) +k-1 $$
Die Minuseinz muss nun mit jedem Summanden multipliziert werden
$$ y= \left(\frac {-x} {3+k}+\frac {-1} {3+k}\right) +k-1 $$
$$ y= -\frac {x} {3+k}-\frac {1} {3+k} +k-1 $$
um mit der allgemeinen Geradengleichung $$y=m \cdot x +b$$ vergleichen zu können, muss die Darstellung entsprechend gegliedert werden:
$$ y= -\frac {1} {3+k} \cdot x +\left(-\frac {1} {3+k} +k-1\right) $$
im Ursprung ist sowohl x als auch y Null, also:
$$ 0= -\frac {1} {3+k} \cdot 0 +\left(-\frac {1} {3+k} +k-1\right) $$
$$ 0= -\frac {1} {3+k} +k-1 $$
Vielen Dank, dass Du meine Antwort so sorgfältig nachgearbeit hast - das freut mich!

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Gern geschehen, wobei ja ich derjenige bin, der sich bedanken muss. Also: Nochmals herzlichen Dank für Deinen verständlichen Nachtrag! 

Ach nö, da hab' ich tatsächlich das Minus unterschlagen... -_-

Nun frage ich mich allerdings noch: Wenn das nicht der von Dir eingebaute Fehler war, welcher war es denn dann und wie kam ich dazu, ihn anscheinend automatisch zu korrigieren? ^^

P.S.: Hätte Deine Antwort sehr gerne als Beste markiert, jedoch ist der entsprechende Button nicht sichtbar. Dieses Problem habe ich desöfteren schon gehabt. :/ 

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Der eingebaute Fehler war lediglich ein Trick, um 

a)

so zu tun, als hätte ich einen Fehler absichtlich gemacht, falls ich wirklich was verschusselt hätte,

b)

den Fragesteller dazu zu motivieren, die Antwort wirklich genau durchzulesen, da es ja darin was zu finden gibt

c)

weiss auch nicht ...

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Der Button für die beste Anworten ist bei meinem account grundsätzlich deaktiviert, weil ich stets die besten Antworten gebe und daher keine zusätzliche Meriten benötige. Leider ist diese Tatsache nur noch nicht allen Forenteilnehmern bewusst ...

... nö - mal im Ernst, das finde ich schon schade - gerade weils im Dez eine Sonderverlosung für den 6. Platz des Monatsbesten gibt. Vielleicht klappte es an einem anderen Tag oder mit einem anderen Computer doch noch mit dem Beste-Antwort-Bonus. Wäre schon toll.