In welchem Punkt P ist die Normale von K parallel Geraden mit der Gleichung y=-0,5x+3

Question

In der Aufgabe war auch noch gegeben: f(x)=e^{0,5x-1}-0,5x
Wäre nett wenn mir jemand erklären könnte wie das klappt

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Was ist denn K?

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K ist f(x)=e^0,5x-1-0,5x

Answer 1

Also, die Normale steht senkrecht auf der Tangente in einem bestimmten Punkt. D.h. die Steigung der Normalen und der Tangenten sind verbunden über das sog. inverse Reziprok: m₁ = -1 / m₂. Das bedeutet, wenn die Normale die gleiche Steigung hat wie die Gerade g suchen wir nach der Tangenten an die Funktion mit der Steigung m = -1 / (-0,5) = 2. D.h. wir müssen wissen an welcher Stelle die Funktion die Steigung 2 hat. Dafür brauchen wir die erste Ableitung.

f'(x) = 0,5 e^{0,5x-1} -0,5

Diese wird nun gleich gesetzt mit 2.

0,5 e^{0,5x-1} -0,5 = 2

e^{0,5x-1} = 5  | Ln

0,5x-1 = Ln (5)

x = (Ln5 + 1) / 0,5 = 5,22

y = e^{0,5*5,22-1} - 0,5*5,22 = 2,39

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Hier auch die Skizze dazu:

~plot~e^{0,5x-1}-0,5x;-0,5x+3; 2x+(-2*5,22+2,39)~plot~