Polynom höchstens 6. Grades bestimmen, das die Funktion an den Stellen x_{i} = i für i = 0, ..., 6 interpoliert.

Question

Weiß jemand wie ich bei dieser Aufgabe am besten vorgehe?

Gegeben ist die Funktion

\( f(x)=2 x+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2} x^{5}-2 \)

a) Bestimmen Sie das Polynom (EDIT 2019) höchstens sechsten Grades, das diese Funktion an den Stellen x_{i} = i für i = 0, ..., 6 interpoliert.

b) Bestimmen Sie das Polynom zweiten Grades, das diese Funktion an den Stellen x_{i} = i-1 für i = 0, 1, 2 interpoliert.

Comments

ist zwar schon bisschen her aber ich habe nun die gleiche Aufgabe vor mir.

kann mir jemand helfen wie man hier vorgeht?

Bzw. ob  man bei a) einfach schreiben kann, dass es kein 6. Polynom gibt?

vielen Dank schon mal

---

Die Frage ist fast fünf Jahre alt, wer wird da noch Informationen nachreichen?

---

Ist doch passiert :)

Answer 1

b)

f(x) = 0.5·x^5 + 0.5·x^2 + 2·x - 2

p(-1) = -4 --> a - b + c = -4
p(0) = -2 --> c = -2
p(1) = 1 --> a + b + c = 1

Wenn man das Gleichungssystem löst erhält man folgende Funktion

p(x) = 0.5·x^2 + 2.5·x - 2

Comments

f(x) = 0.5·x5 + 0.5·x2 + 2·x - 2
p(-1) = -4 → a - b + c = -4

Ist das wirklich richtig? Müsste es nicht -a + b - c heißen?

---

f(x) = ax^2 + bx + c

f(-1) = a·(-1)^2 + b·(-1) + c = -4

Schaffst du es selber zu vereinfachen?

---

Uh das ging jetzt schnell.

Danke dir, jetzt erkenne ich meinen Fehler!

Answer 2

streng genommen gibt es kein Polynom 6. Grades, das f an den genannten sieben Stellen interpoliert. Beim rechnerische Ansatz zur Bestimmung dieses Polynoms der Form p(x) = a x⁶ + bx⁵ + ... geht man vor wie bei jeder Steckbriefaufgabe. Das Ergebnis muss aber sein: a=0, b=1/2, c=0, ... und p(x) = f (x)

Damit hat man ein Polynom vom Grad 5 erhalten (nämlich f) und keins vom Grad 6.

Die quadratische Interpolation ist da schon mehr Arbeit:

Du setzt die geforderten drei Stellen für x in f ein. Damit erhältst du drei Punkte ( x I f(x)) und diese drei Punkte legen eine quadratische Parabel fest.

Hier ist also eine echte Steckbriefaufgabe zu lösen:

q(x) = a x² + bx + c,

p(-1) = f(-1) und so weiter.

Ich hoffe, das hilft dir weiter.

Comments

aber stehen bei dieser Aufgabe nicht genau 7 Stellen zur Verfügung? nämlich x=0, x=1, x=2, ..., x=6?

---

Richtig,

damit kannst du also sieben Parameter ermitteln, aber der du erhältst a=0.

0 x^6 +1/2 x^5 + ... ist aber ein Polynom vom Grad 5 und nicht vom Grad 6.

---

Grüße, nur noch mal zum Verständnis: In die Ausgangsformel setze ich für x 0-6 ein (siehe Aufgabenstellung) und damit kriege ich 7 Punkte (x | f(x)) und dann nehme ich mir z.B. das newt. Interpolationsverfahren und kriege am Ende p(x), richtig? (und das wars oder kommt danach noch was?)

Durch die 7 Werte wird der Rechenweg ziemlich ausufernd, aber nun gut.

---

Das wurde ja schon korrekt kommentiert:

Es geht um das Polynom höchstens sechsten Grades.

WENN man rechnen würde, dann würde man die von dir angegebenen Punkte benutzen und dann z.B. mit dem Gauß-Verfahren die Koeffizienten des Polynoms bestimmen.

Das wäre zielmlich viel Arbeit, außer man benutzt ein Tool, das das kann. Dann würde man entweder das Gauß-Verfahren rechnen lassen oder eine Regression (Polynom Grad 6, geht z.B. mit dem freeware-Programm Geogebra über den Befehl Trendpoly).

ABER: Es ist eigentlich keine Aufgabe zum Rechnen, sondern es soll das Verständnis abgeprüft werden. Weil der Graph der Aufgabe angegebenen Funktion durch diese Punkte geht, kann es keine andere mit Grad  kleiner gleich 6 geben, die auch dadurch geht. Wer rechnet, geht einen riesigen Umweg.

Damit man auch was zum Rechnen hat, wurde der zweite Teil der Aufgabe gestellt.

---

Oookay. Das habe ich jetzt ganz ehrlich gesagt nicht verstanden. Bevor ich hier was völlig falsches mache, muss ich jetzt doch noch mal nachhaken.

Das Ziel ist doch p(x) ?

Aus den 7 Punkten werden durch newt. IPV die 7 Werte a0 bis a6 und die setze ich dann doch in p(x)=a0+a1(x-x0)+a2 usw. ein, oder nicht? Zugegebenermaßen ist das ne Sauarbeit.

Und du sagst jetzt, dass man das nicht machen braucht oder abkürzen kann?

Danke für deine Mühe, ich weiß, dass wirklich zu schätzen. Das muss so sein, als wenn Oma anruft, sie hätte das Internet gelöscht.

---

Naja,

du suchst ein ganzrationale Funktion vom Grad 6 oder kleiner, die durch die sieben Punkte (0 | f(0)), (1 | f(1)), ..., und (6 | f(6)) geht.

Genauer gesagt: du suchst DIE ganzrationale Funktion vom Grad 6 oder kleiner, die das tut, denn es kann nur genau eine geben. Das dürfte dich auch nicht seh wundern, denn mit deinem ganzen Verfahrensaufwand würdest du ja genau eine ausrechnen, oder?

Wenn du jetzt schon zufällig eine kennen würdest, wärst du also fertig.

Nehmen wir doch mal f mit f(x)=2x+12x^2+12x^5−2.

Ist f eine ganzrationale Funktion vom Grad 6 oder kleiner? Check, denn 5 ist kleiner als 6.

Geht der Graph von f durch alle sieben Punkte? Check, denn so haben wir die Punkte je berechnet (oder wir haben uns auch diese Berechnung gespart, weil es uns eh klar war.)

Also haben wir die Funktion zielsicher und zweifellos gefunden: Es ist f.

Answer 3

Bin ebenfalls über die genannte Aufgabe gestolpert und würde mich für den Lösungsweg interessieren.

Comments

Sei doch so nett und gib mal die Quelle dieser Aufgabe an.

---

Guten Morgen,

die Aufgabe stammt aus einer Übungsklausur/Aufgabensammlung eines Freundes. Er studiert Informatik an der Fernuni Hagen. Ich habe mir seine ganzen Unterlagen geben lassen, weil ich vor 2 Wochen selber mit dem Studium begonnen habe. Bei Mathe muss ich noch etwas nachholen, daher arbeite ich seine Sammlung durch. Wenn ich dann überhaupt keine Land sehe, suche ich mir meist ähnliche Aufgaben (mit Lösung) im Internet raus, um den Lösungsweg erstmal nachzuvollziehen. Ulkigerweise ist das hier Wort für Wort die gleiche Aufgabe.

Ein Fingerzeig wie man vorgeht, würde mir schon reichen. Mit dem verlinkten Steckbrief komme ich leider nicht zurecht, zumal einer der dort drin verlinkten Steckbriefe nicht mehr aufrufbar ist.

MfG

---

Die Frage scheint mir falsch/unvollständig/ungenau gestellt zu sein. Bei der gegebenen Funktion (5. Grades) braucht es zur Interpolation nicht 6 Grade.

b) vgl. "ähnliche Fragen" und Antwort von Mathecoach von heute.

---

@Striker: Kannst du vielleicht ein Foto nachreichen? Gibt es auch eine Lösung dazu?

---

Hier steht, dass maximal der 6. Grad bestimmt werden soll, vermutlich als kleiner Stolperstein, weil es ja nur bis zum 5. Grad geht - denke ich.

---

Na, da haben wir ja schon die Ungenauigkeit in der ursprünglichen Frage!

_{(Nach fast fünf Jahren...)}