Gleichung x=u ; Länge berechnen

Question

:)

Ich weiß, dass die Frage schon mehrere male gestellt wurde, aber ich komme bei der folgenden Aufgabe trotzdem nicht auf die richtige Lösung. Ich hoffe mir kann da jemand behilflich sein...

Aufgabe:

Eine Gerade mit der Gleichung x=u (-3,5=<u<=0) schneidet das Schaubild h=3/4x^3-9x+1 im Punkt Q und das Schaubild von f=1/2e^x-1/3x-2 im Punkt R. Berechnen sie u so, dass die Strecke QR die Länge 10 hat.

Mein Ansatz:

x=u ist eine senkrechte Gerade, daher ist bei beiden Punkten der X-Wert = -u --> da x-Werte ja im negativen Bereich liegen sollen

Für Q habe ich folgenden Punkt berechnet: Q(-u  ;   -3/4u^3+9u+1)

Für R habe ich folgenden Punkt berechnet: R(-u  ;   1/2e^{-u}-1/3u-2)

Die allgemeine Formel für die Berechnung der Länge lautet:

10=h(x)-f(x)

10=-3/4u^3+9u+1-1/2e^{-u}+1/3u+2

0 = -3/4u^3+26/3u-1/2e^{-u}+9

Das habe ich dann in den Taschenrechner eingegeben und die Nullstelle berechnet. Dafür kam x=-0,9648 raus.

Wenn ich allerdings mit diesem x-Wert rechne, dann komme ich nicht auf die Länge 10....

Habe ich mich bei meinem Ansatz irgendwo vertan?

Würde mich freuen, wenn mir jemand behilflich sein könnte :)

Liebe Grüße

Jasmin

Answer 1

--> da x-Werte ja im negativen Bereich liegen sollen

Wo steht das ?

Richtig erkannt hast du die senkrechte Gerade. Deren Länge ergibt sich aus dem Abstand zwischen den Schnittpunkten mit den Funktionen. Freundlicherweise ist die Gerade senkrecht, so dass man ansetzen kann:

$$10 = h(u)-f(u) $$$$ h(u)= \frac34\, u^3- 9u+1$$$$ f(u) =\frac12 e^u -\frac 13 u -2$$

eingesetzt also:

$$10 = \frac34\, u^3- 9u+1  -  ( \frac12 e^     {-u}   -\frac 13 u -2 )$$

aufgeräumt:

$$0= \frac34\, u^3- 9u+1  -   \frac12 e^ {-u} +\frac 13 u -8 $$

$$ \frac12 e^ {-u}= \frac34\, u^3- \frac{26}3 u -7 $$

Wir fallen nun vor Angst ins Koma, weil es eine Transzendente Gleichung ist, die zu allem Überfluss auch noch ein Polynom dritten Grades drin hat. Also entweder GTR oder Näherungslösung zu Fuss.

Oder die Aufgabenstellung nochmal genau ansehen - vielleicht ist das im Original gar nicht so ein Horror, sondern nur falsch abgeschrieben.