Äquivalenz zwischen "Teleskopsumme konvergiert" und "Folge (an) konvergiert"

Question

gegeben ist die Aufgabe

"Zeigen Sie, dass für jede Folge (a_n) ∈ ℂ die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:

a) ∑ (a_n-a_n+1) konvergiert

b) (a_n) konvergiert

kann mir jemand einen Ansatz geben?

Answer 1

"==> "

a) ∑ (a_n-a_n+1) konvergiert heisst 

(s_(N)) mit s_N:=  ∑^N _(n=1) (a_n-a_n+1) konvergiert gegen s.

s_N:=  ∑^N _(n=1) (a_n-a_n+1) = a1 - a2 + a2 - a3 ..... + aN - aN+1 = a1 - aN+1

s = lim N gegen unendlich s_(N) = a1 - lim N gegen unendlich aN

lim n gegen unendlich an = a1 - lim N gegen unendlich s_(N) = a1 - s

q.e.d. (an) konvergiert gegen a1 - s.

Nun dasselbe noch rückwärts notieren für die Beweisrichtung "<==".

Comments

Sind denn alle Schlüsse in der Rückrichtung auch richtig / begründet ?
Oder muss / kann man alternativ mit der Definition für Konvergenz argumentieren?

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Du darfst voraussetzen, dass (an) konvergiert.  D.h. die definierenden Eigenschaften für Konvergenz sind nach Voraussetzung erfüllt.

Die Definition von s_(N) und Wert einer Reihe als Grenzwert der Partialsummen darfst du wohl auch voraussetzen.