Ungleichung mit Bedingung

Question

x < √(a + x) mit a < 0

Ich habe nun erstmal festgelegt: x ≥ |a| ... damit stelle ich ja sicher das die Wurzel immer ≥ 0 ist.

x² < |a+x|
=> x² < a + x
=> x²  - x < a | Quadratische Ergänzung mit 1/4
=> (x - 1/2)² < a + 1/4
=> x - 1/2 < Wurzel(a + 1/4)
=> x < 1/2 + Wurzel(a + 1/4) | Umständliche Umformung
=> x < (1 + Wurzel(4a + 1)) / 2

Lösung 1: (-oo, (1+Wurzel(4a+1)) / 2)

Der Teil müsste schonmal i.O. sein.

x² < |a+x|
=> x² < -a-x
=> x² + x < -a                  | Quadratische Ergänzung wie oben u. die Umformung zur vorgegebenen Lösung
                                         (hier ist ein Fehler, denn das Minus darf eigentlich nicht drin stehen, siehe unten)
=> x + 1/2 < √( -a + 1/4)
=> x < - (1+√(-4a + 1)) / 2

Es soll hinterher das hier rauskommen:

L = { ((1-√(4a + 1)) / 2,  (1+√(4a + 1)) / 2)     wenn - 1/4 ≤ a < 0
         ∅                                                         wenn a < - 1/4

Jetzt frage ich mich gerade woher man zu Anfang auf die 1/4 kommt, das kann ich so direkt nicht sehen? Und wieso man diesen Teil mit der leeren Menge angeben muss wenn a < - 1/4

Welchen Rechenweg muss ich da einschlagen damit ich zu diesen Resultaten komme? Bei meiner zweiten Rechnung muss ein Umformungs-Fehler drin sein und das Relationszeichen müsste irgendwo gedreht werden... *grübel*

Answer 1

x² < |a+x|
=> x² < a + x
=> x²  - x < a | Quadratische Ergänzung mit 1/4
=> (x - 1/2)² < a + 1/4

ab hier wird es kritisch!  denn für a<-1/4 steht
ja rechts was negatives und Die quadrierte Klammer kann nicht
kleiner als was negatives sein !
An der Stelle sieht man das mit dem -1/4

=> x - 1/2 < Wurzel(a + 1/4)
=> x < 1/2 + Wurzel(a + 1/4) | Umständliche Umformung
=> x < (1 + Wurzel(4a + 1)) / 2

Answer 2

Zitat:

"x < √(a + x) mit a < 0

Ich habe nun erstmal festgelegt: x ≥ |a| ... damit stelle ich ja sicher das die Wurzel immer ≥ 0 ist.

x² < |a+x|

(...)"

Hi, x ≥ |a| muss nicht festgelegt werden, denn x ≥ −a > 0 beschreibt den Definitionsbereich des Wurzelterms und gleichzeitig auch der gesamten Gleichung. Außerdem muss nicht die Wurzel größer oder gleich Null sein, denn das ist sie immer, sondern der Radikand unter der Wurzel. Du hast quadriert, um die Wurzel loszuwerden, das ist gut und nachdem aus dem bereits Gesagten folgt, dass beide Seiten der Ungleichung positiv sind, ist das auch eine Äquivalenzumformung. Die gesetzten Betragsstriche sind allerdings völlig unnötig, da, wie gesagt, der Radikand sicher nicht negativ sein darf. Der Anfang wäre also richtig:
$$ x < \sqrt { a + x } \quad\land\quad a < 0 \\\,\\ \Leftrightarrow\quad x^2 < a + x \quad\land\quad x\ge-a>0 \\\,\\ \Leftrightarrow\quad (...) $$
Zu lösen bleibt eine quadratische Ungleichung.