Question

Vollständige Induktion mit Wurzeln und 2 Variablen:

\( \sqrt{a}-\sqrt{b} \leq \sqrt{|a-b|} \) mit a,b ≥ 0

Ansatz/Problem:

Bisher haben wir das immer nur mit einem beliebigen n als Variable gehabt, in dieser sind nun zwei, daher weiß ich nicht genau wie man damit umgeht, habe nun einfach mal naiv folgendes gemacht:

\( \sqrt{a+1}-\sqrt{b+1} \leq \sqrt{|a+1-(b+1)|} \)

Aber ich habe nun absolut keine Ahnung wie ich da anfange das umzuformen, um dann die Annahme einpflegen zu können, ich muss ja nun von links und rechts jeweils ausgehend "zur Mitte" umformen aber wie ziehe ich beispielsweise das +1 aus der Wurzel?

Oder könnte ich auch folgend argumentieren:

\( \sqrt{a}-\sqrt{b} \leq \sqrt{a+1}-\sqrt{b+1} \leq \sqrt{|a-b|} \leq \sqrt{|a+1-(b+1)|} \)

zumindest schonmal von der Idee her.

Answer 1

Am besten 2 Fälle unterscheiden.

1. Fall a>b, dann geht quadrieren, da alles positiv ist, und gibt:

a - 2 √(a·b) + b ≤ a-b          (denn für a>b fällt ja der Betrag weg)
 - 2√(a*b)  ≤ -2b       | :(-2)
    √(ab) ≥ b = √( b^2)
                         ab ≥ b^2   |:b jedenfalls für b ungleich 0, für b=0 ist es aber eh erfüllt
                           a ≥ b    also erfüllt.

2. Fall a<b, dann auch √(a) < √(b) also √(a) - √(b) negativ.

und etwas negatives ist allemal kleiner als die Wurzel rechts, denn die ist ja größer oder gleich Null.

3. Fall a=b, dann steht da 0 kleiner oder gleich 0 und das stimmt.

Comments

Danke schonmal für die tolle Erklärung, das hab ich sofort verstanden. :)

Hat man mit dieser Fallunterscheidung (weil es sich ja um eine vollständige Induktion handeln soll) automatisch den "folgeschritt" abgedeckt? Und dieses "induktive" Einsetzen der Annahme fehlt ja im Grunde... aber vielleicht kann man das ja in diesem Fall weglassen.

Ich wüsste nämlich nicht wie ich das nun von der schreibweise her anders verpacken sollte, also nach dem Schema das ich kenne, zeigt man ja für ein n das die Aussage gilt, um dann von dieser Annahme ausgehend den Folgeschritt n+1 zu  beweisen. Das wollte ich oben mit diesem a+1, b+1 probieren, schien mir aber etwas umständlich, da erscheint mir deine Version sehr elegant, ich bin mir nur immer unsicher wenn ich von den Beispielen abweiche und das dann auch tatsächlich so in der Klausur hinschreiben dürfte. ^^

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Wie heißt denn die genaue Aufgabe? So, wie oben formuliert, ist es eher kein Fall für eine vollständige Induktion, da die Aussage in allgemeinerer Form auch leicht anders gezeigt werden kann.

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Das kann man so ruhig hinschreiben.

Mit vollständiger Induktion hat das allerdings nichts zu tun.