Welche Teilmengen sind Untervektorräume von R^3?

Question

Guten tag meine Frage lautet:

Wir betrachten den Vektorraum R^3. Untersuchen sie, welche der folgenden drei Teilmengen von R^3 Untervektorräume sind:

a) U=⟨X= (x1 x2 x3) ∈ R^3; x2=x1+x3⟩    x1x2x3 ist eine 1*3 matrix

B) U=⟨X= (x1 x2 x3) ∈ R^3; x1^2=x2^3 ⟩   x1x2x3 ist eine 1*3 matrix

C)  U=⟨X= (x1 x2 x3) ∈ R^3; x1^2+x2^2+x3^1= 0⟩      x1x2x3 ist eine 1*3 matrix

Meine frage lautet wie muss ich bei dieser aufgabe vorgehen? ich weiß nicht wie ich anfangen muss

Comments

Was soll das heißen "x1x2x3 ist eine 1*3 matrix"?

Überprüfe die Unterraumkriterien: U darf nicht leer sein und muss abgeschlossen sein.

Ist das richtig: x1^2+x2^2+x3^1= 0

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also 1x3 matrix damit ist gemeint das x1 x2 x3 untereinander stehen also nicht nebeneinander. und das letzte müsste x3 hoch zwei heißen das müsste ein tippfehler sein. Und wie überprüfe ich das?? können sie ein beispiel geben

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Das wäre dann eine 3x1-Matrix, das heißt, sie hat drei Zeilen und eine Spalte.

Alle drei genannten Teilmengen sind nichtleer, das sieht man daran, dass der Nullvektor in jeder der drei Teilmengen enthalten ist.

Bleibt noch die Abgeschlossenheit bei Linearkombination, damit ist gemeint: Zu zwei beliebigen Vektoren aus U muss auch ihre Linearkombination in U liegen. Das zeigt man nun entweder allgemein oder widerlegt es anhand eines Beispiels. Ist Dir dies dem Prinzip nach soweit klar?

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soweit hab ich das verstanden nur dass mit dem nullvektor habe ich nicht kapiert

Answer 1

Du musst nur prüfen, ob für alle X,Y aus U immer gilt
X+Y aus U und  für a aus R   a*X aus U.
zum ersten:
X = ( x1,x2,x3) und Y=(y1,y2,y3) wenn die aus U sind,
gilt x2=x1+x3  und y2=y1+y3       (#)
und es  ist X+Y= (x1+y1, x2+y2, x3+y3) und du musst jetzt nur
prüfen, ob hier
auch die Def. von U erfüllt ist, also ob gilt
x2+y2 =  (x1+y1) + (x3+y3)
Das ist aber klar, folgt sofort aus (#), wenn du für x2 und y2 die
jeweils rechte Seite der Gl. einsetzt.

ebenso  mit a*X aus U
Es ist a*X= (ax1,ax2,ax3) und wenn x2=x1+x3 gilt
und du die ganze Gleichung mit a multiplizierst, steht es da.

b)  Bedingung ist x1²=x2³ ,also z.B   (1,1,0) in U

aber   (1,1,0) +   (1,1,0) = (2,2,0) nicht in U,

weil 2^2 nicht gleich 2^3

c) x1²+x2²+x3¹= 0

also etwa (1,1,-2) aus U

aber (1,1,-2)+ (1,1,-2)= (2,2,-4) nicht aus U,

weil 2^2 + 2^2 +(-4)^1=4 und nicht gleich 0.