Question

Angenommen, die Weltbevölkerung vermehrt sich nach der FormelN(t) = N₀·e^λt1960 gab es ca. 3 Mrd. Menschen, 1995 ca. 5,6 Mrd.

1. Bestimme die Konstante λ!
2. Wieviel Prozent beträgt das jährliche Wachstum der Weltbevölkerung?
3. Wann wird die Erde 15 Mrd. Einwohner haben, wenn die Bevölkerung im selben Tempo weiterwächst?

Lösung:

1. 0,0178/Jahr
2. 1,8%
3. ca. 2050

Bitte den Rechenvorgang schreiben

Danke

Answer 1

Angenommen, die Weltbevölkerung vermehrt sich nach der Formel N(t) = N0·e^{λ·t}. 1960 gab es ca. 3 Mrd. Menschen, 1995 ca. 5.6 Mrd.

a) Bestimme die Konstante λ!

(5.6/3)^{1/(1995 - 1960)} = 1.017992937 = 1.018

λ = LN(1.017992937) = 0.01783297999 = 0.01783

b) Wieviel Prozent beträgt das jährliche Wachstum der Weltbevölkerung?

ca. 1.8 %. Siehe unter a)

c) Wann wird die Erde 15 Mrd. Einwohner haben, wenn die Bevölkerung im selben Tempo weiterwächst?

N(t) = 3·1.018^t = 15

t = LN(15/3)/LN(1.018) = 90.21554363

1960 + 91 = 2051

Comments

N(t) = N(0) * a^t

1,018 ist der Wert für a oder?

und λ ist ln(a)?

Noch eine Frage:

Wann wird bei der Ermittlung von λ durch die Zeit t dividiert?

Danke

---

1,018 ist der Wert für a oder?

Ja genau.

und λ ist ln(a)?

Ja genau.

Wann wird bei der Ermittlung von λ durch die Zeit t dividiert?

Nirgends. Es gilt der Faktor ja immer für t = 1. Damit braucht man mit dem t nichts mehr machen.

Answer 2

N(t) = N₀·e^λt 1960 gab es ca. 3 Mrd. Menschen, 1995 ca. 5,6 Mrd.

1. Bestimme die Konstante λ!
2. Wieviel Prozent beträgt das jährliche Wachstum der Weltbevölkerung?
3. Wann wird die Erde 15 Mrd. Einwohner haben, wenn die Bevölkerung im selben Tempo weiterwächst?

Lösung:

1. 0,0178/Jahr
2. 1,8%
3. ca. 2050

1.)

N ( t ) = N0 * e^{l*t}
N ( 1960 ) = N0 * e^{l*1960} = 3 * 10^9
N ( 1995 ) = N0 * e^{l*1995} = 5.6 * 10^9

N0 * e^{l*1960} = 3 * 10^9
N0 * e^{l*1995} = 5.6 * 10^9   |  dividieren

e^{l*1960} = 3 * 10^9
e^{l*1960} / e^{l*1995} = 3 * 10^9 / ( 5.6 * 10^9 ) 
e^{1960*l-1995*l} = 3 / 5.6
e^{-35*l} = 3 / 5.6  | ln ( )
-35 * l = ln ( 3 / 5.6 )
λ = 0.0178

N0 kann auch bestimmt werden

N0 * e^{0.0178*1960} = 3 * 10^9
N0 * 1.418 * 10^15 = 3 * 10^9
N0 = 2.116 * 10^{-6}

N ( t ) = 2.116 * 10^{-6}  * e^{0.0178*t}

Probe
N ( 1995 ) = 2.116 * 10^{-6}  * e^{0.0178*1995} = 5.6 * 10^9
N ( 1995 ) = 2.116 * 10^{-6}  * 2.644 * 10^{15} = 5.6 * 10^9  | stimmt

Prozentuales Wachstum in einem Jahr
N ( 1961) / N ( 1960 )
[ 2.116 * 10^{-6}  * e^{0.0178*1961} ] / [ 2.116 * 10^{-6}  * e^{0.0178*1960} ]
e^{0.0178*1961-0.0178*1960})
e^{0.0178} = 1.018
N ( 1960 ) * 1.018 = N ( 1961 )
1.8 %

N ( t ) = 2.116 * 10^{-6}  * e^{0.0178*t} = 15 * 10^9
e^{0.0178*t} = 15 * 10^9 / (  2.116 * 10^{-6}  )
e^{0.0178*t} = 7.09 * 10^15  | ln (  )
0.0178*t = ln (7.09 * 10^15 )
t = 2050.4

auch möglich über das Wachstum in %
3 * 10^9 * 1.018^x = 15 * 10^9
1.018^x = 5
x * ln(1.018) = ln ( 5 )
x = 90.2 Jahre
1960 + 90.2 = 2050.2