Bestimmen Sie das Minimum der Funktion f (x,y) = x^2 + y^2 unter der Nebenbedingung 3x-y =1

Question

a.)  durch direktes einsetzen

b.) mit Hilfe Lagrange´scher Multiplikatoren

LG

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f ( x, y ) = x^2 + y^2
3x - y = 1
y = 3x - 1
f ( x ) = x^2 + ( 3x - 1 )^2
f ( x ) = x^2 + 9x^2 - 6x + 1
f ( x ) = 10x^2 - 6x + 1
f ´( x ) = 20x - 6
Punkt mit waagerechter Tangente
20x - 6 = 0
20x = 6
x = 0.3
f ´´ ( x ) = 20 Punkt ist Min

f ( x ) = x^2 + ( 3x - 1 )^2
f ( 0.3 ) = 0.3^2 + ( 3*0.3 - 1 )^2
f ( 0.3 ) = 0.1

E ( 0.3  |  0.1 )

Bei b.) kann ich dir nicht helfen.

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Dein Punkt erfüllt die Nebenbed. nicht.

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@Georg: Die Funktion ist doch als f(x,y) vorgegeben, dann müsstest Du den Extrempunkt entsprechend angeben?! ;)

E(0.3, -0.1, 0.1)

wobei der y-Wert mit y = -0.1 noch durch einsetzen bestimmt werden muss ;).

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Korrektur ( wie hier aber schon angeführt )
Aus der Nebenbedingung ergibt sich :
y = 3x - 1
y = -0.1
und dann
E ( 0.3,  -0.1,  0.1)

Answer 1

Hi,
die Lagrange Funktion sieht so aus
$$ L(x,y,\lambda)=x^2+y^2+\lambda \cdot (3x-y-1) $$
Jetzt musst Du die partiellen Ableitungen nach \( x \), \(y \) und \( \lambda \) bilden und \( 0 \) setzten und das entstehende Gleichungssystem lösen. Also
$$ (1) \quad \frac{\partial L}{\partial x} = 2x + 3\lambda = 0 $$
$$ (2) \quad \frac{\partial L}{\partial y} = 2y - \lambda = 0 $$
$$ (3) \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 3x-y-1 = 0 $$
Aus (1) und (2) folgt
$$ \lambda = 2y = -\frac{2x}{3} $$ also $$ y=-\frac{x}{3} $$ Aus (3) folgt dann
$$  3x+\frac{x}{3}-1=0 $$ Also $$ x=\frac{3}{10}  $$ und damit
$$  y=-\frac{1}{10} $$
Jetzt muss noch die Hesse-Matrix
$$ \begin{pmatrix}  L_{xx} & L_{xy} \\ L_{yx} & L_{yy} \end{pmatrix}  $$
berechnet werden um festzustellen ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt.
Es ergibt sich
$$ \begin{pmatrix}  L_{xx} & L_{xy} \\ L_{yx} & L_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$
Diese Matrix ist positiv definit da sie nur positive Eigenwerte hat, also liegt ein Minimum vor.

Georgborn hat in seiner Lösung übrigens einen Fehler. Er hat den y-Wert falsch berechnet. Er hat den y-Wert durch den Funktionswert der zu mimimierenden Funktion ersetzt was natürlich falsch ist.

Die Funktion nimmt dann an der berechneten Stelle den Wert
$$ f\left(\frac{3}{10},-\frac{1}{10}\right)=\frac{1}{10} $$ an.

Answer 2

a) hast du ja schon.
b) f ( x, y ) = x² + y²       3x - y = 1  also    3x - y - 1 = 0
Dann ist die Lagrange-Funktion
D(x,y,L)= x² + y²     + L( 3x - y - 1)
jetzt die drei part. Ableitungen
D ' _x (x,y,L) =  2x  + 3L        D ' _y (x,y,L) =  2y  - L     D ' _L (x,y,L) =  3x - y - 1
also
2x  + 3L=0   und           2y  - L=0    und           3x - y - 1=0
           L=(-2/3)x                             L=2y

also  y = (-1/3)x             in die 3. Gleichung    3x  - (-1/3)x = 1
                                                                                   (10/3)x = 1
                                                                                           x= 3/10=0,3
und damit y=-0,1  und L=-0,2
                               Da ist in Georgs Lösung ein kleiner Fehler,
                                er hätte besser das x bei der Nebenbedingung eingesetzt,
                                dann wäre auch  -0,1 entstanden.
Also ist (0,3 / -0,1) der einzige kritische Punkt.
Jetzt ist es ja bei der Lagrange-Methode immer etwas schwierig über
die Art des Extremuns zu entscheiden. geränderte Hesse-Matrix ?
0                3                   -1
3                 2                   0
-1               0                  2
hat Determinante -20 ist negativ, also lok. Minimum an dem
kritischen Punkt  P(0,3 / -0,1).