Welche Bedeutung haben u und v für die Populationsentwicklung?

Question

Aufgabe: Populationsentwicklung , welche Bedeutung haben u und v für die Populationsentwicklung?

Aufgabe: Die Population einer Tierart kann in die drei Altersstufen Jungtiere, ausgewachsene Tiere und Alttiere unterteilt werden.

Die Übergangsmatrix

$$ U = \begin{pmatrix} 0 & u & v \\ 0.4 & 0 & 0 \\0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} $$
mit u, v > 0 beschreibt die jährlichen Veränderungen innerhalb dieser Tierart.

Fragen:
a) Welche Bedeutung haben u und v für die Populationsentwicklung?
b) Welche Aussagen zur Populationsentwicklung können Sie treffen, wenn u=0 ist.
c) Bestimmen sie u unter der Vorgabe, dass jedes ausgewachsene Tier entweder selbst zum Alttier wird oder aber stirbt und genau ein jungtier hinterlässt.
d) Zeigen Sie, dass es für u=0,75 eine Altersentwicklung gibt, die sich jährlich wiederholt. Wie viele Tiere einer 180 köpfigen Herde gehören dann der jeweiligen Altersklasse an?

Comments

Wenn Du die Übergangsmatrix noch leserlich machst, wäre das schön.

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0         0      v

U=   0,5      0     0

0        0,5   0

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In der Übergangsmatrix kommt doch gar kein \( u \) vor??Muss bei einer Übergangsmatrix nicht die Summe der Spalten werte \( 1 \) ergeben??

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Der Fragesteller hat offenbar nicht nur keinerlei Durchblick, sondern auch noch die Übersicht verloren, hier seine ursprüngliche Matrix:
$$ U=\begin{pmatrix} 0 & u & v \\ 0.4 & 0 & 0 \\0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} $$

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Entschuldigung, ich habe mich vertippt. Die ursprüngliche Matrix U ist wie Gast angegeben hat

U= ⎜ ⎛⎝⎜00.40u00.25v00⎞⎠⎟

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a) Welche Bedeutung haben u und v für die Populationsentwicklung? 

u ist die Geburtenrate für ausgewachsene Tiere. Also wie viele Jungtiere als Nachkommen auf etwa ein ausgewachsenes Tier kommen.

v ist die Geburtenrate für alte Tiere. Also wie viele Jungtiere als Nachkommen auf etwa ein altes Tier kommen.

b) Welche Aussagen zur Populationsentwicklung können Sie treffen, wenn u=0 ist.

ist v < 10 stirbt die Population aus, ist v = 10 haben wir eine sich zyklisch wiederholende Population, ist v > 10 nimmt die Population langfristig zu.

c) Bestimmen sie u unter der Vorgabe, dass jedes ausgewachsene Tier entweder selbst zum Alttier wird oder aber stirbt und genau ein jungtier hinterlässt.

u = 1 - 0.25 = 0.75

d)Zeigen Sie, dass es für u=0,75 eine Altersentwicklung gibt, die sich jährlich wiederholt. Wie viele Tiere einer 180 köpfigen Herde gehören dann der jeweiligen Altersklasse an?

Ansatz

[0, 0.75, v; 0.4, 0, 0; 0, 0.25, 0]·[a; b; c] = [a; b; c]
a + b + c = 180

Ich komme da auf [120, 48, 12]

Answer 1

Hi,
als Ergänzung zu dem was Mathecoach geschrieben hat noch folgende Anmerkungen.
Zu (b)
Da \( u = 0 \) gilt, gilt für die Populationsmatrix P $$ P = \begin{pmatrix}  0 & 0 & v \\ 0.4 & 0 & 0 \\ 0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} $$
Da man jede natürliche Zahl \( n \) schreiben kann als \( n = 3m+k \) mit \( k=0,1,2 \) und \( P^3 = \left( \frac{v}{10} \right) I \) gilt,

mit \( I \) ist die Einheitsmatrix, folgt
$$ P^n=P^{3m+k}=\left(P^3\right)^m P^k=\left( \frac{v}{10} \right)^m P^k $$
Das erklärt, was Mathecoach geschrieben hat, für \( v < 10 \) stirbt die Population aus, weil \( \left( \frac{v}{10} \right)^m \to 0 \) geht. Für \( v > 10 \) folgt \( \left( \frac{v}{10} \right)^m \to \infty \), also nimmt die Population zu. Für \( v = 10 \) folgt \( \frac{v}{10}=1 \) und deshalb kann \( P^n \) nur die drei Zustände \( P, P^2, \text{ oder } P^3=I \) annehmen.

zu (d)
Hier gilt \( u = 0.75 \) und man muss die Gleichung
$$ Px=x $$ lösen. Die Matrix \( P \) hängt noch von \( v \) ab. Die Gleichung bedeutet, man muss \( v \) so bestimmen, dass \( v \) eine Lösung zum Eigenwert \( 1 \) ergibt. Die charakteristische Gleichung lautet
$$ det(P-\lambda \cdot I)=0  $$ und es muss gelten \( \lambda = 1 \)
Daraus ergibt $$ det(P - I)=\frac{2}{20}v-\frac{14}{20}=0 $$ also \( v = 7 \)
Das hat bei Mathecoach noch gefehlt.

Danach muss der Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda=1 \) bestimmt werden unter der Bediengung \( v = 7 \). Die Lösung für die spezielle Population ergibt sich als ein vielfaches des Eigenvektors.

Der Eigenvektor berechnet sich zu

$$  \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} $$ und der Multiplikationsfaktor ist \( \mu = 12 \)

Damit ergibt sich die gleiche Lösung wie von Mathecoach geposted.