Koordinate des Punktes der Elliptischen Kurve

Question

!!! Frohe Weihnachten!!!!

Sei E/ℚ eine  elleiptische Kurve in der Form einer Weierstraß-Gleichung und P=(x,y) ein rationaler Punkt der Kurve. Ich will zeigen, dass die erste Koordinante des Punktes 2P in der Form

$$x(2P)=\frac{x^4-b_4 x^2-2b_6x-b_8}{4x^3+b_2x^2+2b_4x+b_6}$$

wobei
$$b_2=a_1^2+4a_2$$
$$b_4=a_1a_3+2a_4$$
$$b_6=a_3^2+4a_6$$
$$b_8=a_1^2a_6-a_1a_3a_4+4a_2a_6+a_2a_3^2-a_4^2$$

Ist die folgende Gleichung die Weierstraß-Gleichung?

$$y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6$$


Ich habe diese benutzt und habe folgendes versucht:

$$\lambda=\frac{3x_1^2+2a_2x_1+a_4-a_1y_1}{2y_1+a_1x_1+a_3}, v=\frac{-x_1^3+a_4x_1+2a_6-a_3y_1}{2y_1+a_1x_1+a_3}$$ and then $$2P=(\lambda^2+a_1 \lambda-a_2-x_1-x_2, -(\lambda+a_1)x_3-v-a_3)$$

$$P_1=P_2 \Rightarrow x_1=x_2=x, y_1=y_2=y$$

$$\lambda^2+a_1 \lambda-a_2-x-x= \\ \left( \frac{3x^2+2a_2x+a_4-a_1y}{2y+a_1x+a_3} \right)^2+a_1 \frac{3x^2+2a_2x+a_4-a_1y}{2y+a_1x+a_3}-a_2-2x \\ =\frac{(3x^2+2a_2x+a_4-a_1y)^2}{(2y+a_1x+a_3)^2} +a_1 \frac{(3x^2+2a_2x+a_4-a_1y)(2y+a_1x+a_3)}{(2y+a_1x+a_3)^2}-\frac{(a_2+2x)(2y+a_1x+a_3)^2}{(2y+a_1x+a_3)^2} \\ = \frac{12a_2x^3-6a_1x^2y+4a_2^2x^2+6a_4x^2-4a_1a_2xy+4a_2a_4x+a_1^2y^2-2a_1a_4y+a_4^2+9x^4}{(2y+a_1x+a_3)^2}+\frac{3a_1^2x^3+6a_1x^2y+2a_1^2a_2x^2+3a_1a_3x^2-a_1^3xy+4a_1a_2xy+2a_1a_2a_3x+a_1^2a_4x-2a_1^2y^2-a_1^2a_3y+2a_1a_4y+a_1a_2a_3}{(2y+a_1x+a_3)^2}-\frac{2a_1^2x^3+8a_1x^2y+a_1^2a_2x^2+4a_1a_3x^2+4a_1a_2xy+8a_3xy+2a_3^2x+2a_1a_2a_3x+4a_2y^2+4a_2a_3y+a_2a_3^2+8xy^2}{(2y+a_1x+a_3)^2}$$



Das erwünschte Ergebnis enthält kein y, aber die Koordinante die ich gefunden habe  enthält die Variable y.
Was habe ich falsch gemacht?


Ich habe die Frage auch in math.stackexchange gestellt:http://math.stackexchange.com/questions/1078055/elliptic-curve-component-of-point

Answer 1

Antwort von math stackexchange:

"In the first line you already have given the general Weierstrass form for the affine curve. The other one is just the associated projective curve, where you obtain the affine part by setting z=1. So the difference is only whether you want to consider the affine or projective Weierstrass form for your elliptic curve. Usually, the affine form is used, with the formula for 2P, as you have written (with P=(x₁,y₁) ?). Note that there are typos in your formula, e.g. 2₃y₁, and what are x₂,x₃ ?

---

Yes, we have x₃=λ²+λa₁−a₂−2x, with λ as above. Then you are done. There is no need to expand this further.