Paramaterisierung einer Funktion. S={(x,y,z) | y = 1 - x2 - 9z2, 0≤y≤1}

Question

Kann mir jemand erklären wie man auf die Parametrisierung kommt?

Ellipsiche Koordinaten sind ja: x=a*cos(α); y=b*sin(α); z=z

und ich weiß, dass x²+y²=r² ist, hier wäre das glaub ich x²+9z²=r², aber ich komm einfach nicht auf die Gleichungen, die in der Kurve sind. Wie muss ich umformen und warum?

Answer 1

Ellipsiche Koordinaten sind ja x=a*cos(α)    ; y=b*sin(α); z=z

und ich weiß, dass x²+y²=r² ist, hier wäre das glaub ich x²+9z²=r², aber ich komm einfach nicht auf die Gleichungen, die in der Kurve sind. Wie muss ich umformen und warum?

Mit x²+9z²=r²  hast du doch in der gegebenen Gleichung y = 1 - x² - 9z² 

doch schon mal  y = 1 - r²   .  

Und wie du oben sagst x=a*cos(α)    bzw. hier  x=r*cos(α)   und x² =r² *cos(α)²

und das einsetzen bei  x²+9z²=r² gibt

           r² *cos(α)²  + 9z²   =   r² 

          9z²   =   r² -        r² *cos(α)² 

             9z²   =   r²  * (  1   -   cos(α)²       )

           9z²   =   r²  *   sin(α)²       und weil nichts negativ ist,

kann man die Wurzel ziehen:

         3z  =  r * sin(α)

              z =  ( 1/3 ) * r * sin(α)

       

Comments

Aber wieso darf ich x²+9z²=r² als Radius sehen? Ich weiß dass ich es kann aber ich verstehe den Grund irgendwie nicht >.> Beim Kreis ist es ja einfach, da habe ich die Herleitung verstanden, dass da X²+Y²=r² bzw. x²/r² + y²/r² =1 ist

Wieso ist das bei der Ellipse auch so? Der Radius ändert sich Ja

Und was wenn da z.B x²/4+ 9z² stehen würde wie musste ich dann vorgehen?

Könnte ich als Parametriesierung nicht auch einfach (x,  1-x² - 9z², y) nehmen?

Sorry für die ganzen Fragen ^^"

Und nochmals danke

---

Aber wieso darf ich x²+9z²=r² als Radius sehen?

Das hatte ich einfach aus deinem Ansatz übernommen. Wenn ich recht

überlege war ja auch gegeben x² + 9z² = 1    für y=0

und                                         x² + 9z² = 0   für y=1

und zwischendurch hast du x² + 9z² = r² bzw. = 1-y

und wenn y von 0 bis 1 läuft, ist das ja nie negativ und du kannst r² schreiben.

Der "Radius" ( bei der Ellipse sind das ja zwei verschiedene, heißen wohl Halbachsen)

ergibt sich aus x² / a²  +  z² / b² = 1

als a und b .