Kartesische Koordinaten in Zylinderkoordinaten

Question

ich möchte die kartesischen Koordinaten v(x,y,z) := (x+y , y+z , z+x) in Zylinderkoordinaten umwandeln.

Ich denke, dass es in v(r,θ,z) = (r*cos(θ) , r*sin(θ) , z) umgewandelt werden muss mit r=√x^2 + y^2

Wie gehe ich damit um, dass mehrere Variablen in x,y und z vorkommen?

Heißt es dann:

v(r,θ,z) = (r*cos(x+y) , r*sin(y+x), z+x) mit r=√(x+y)^2 + (y+z)^2 ?

Ich stehe leider komplett auf dem Schlauch...

Vielen Dank für Eure Hilfe :-)

Answer 1

Es gelten folgende Beziehungen:

x= r cos (t)

y= r sin(t)

z=h

Diese setzt Du ein.

Answer 2

Aloha :)

Die Zylinder-Koordinaten lauten:

$$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\,\cos\varphi\\r\,\sin\varphi\\z\end{array}\right)$$

Das Setzt du jetzt einfach in dein Vektorfeld ein:

$$\left(\begin{array}{c}x+y\\y+z\\x+z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\,\cos\varphi+r\,\sin\varphi\\r\,\sin\varphi+z\\r\,\cos\varphi+z\end{array}\right)$$