Paramaterisierung einer Funktion. S={(x,y,z) | y = 1 - x^2 - 9z^2, 0≤y≤1}

Question

Kann mir jemand erklären wie man auf die Parametrisierung kommt?

Ellipsiche Koordinaten sind ja: x=a*cos(α); y=b*sin(α); z=z

und ich weiß, dass x^2+y^2=r^2 ist, hier wäre das glaub ich x^2+9z^2=r^2, aber ich komm einfach nicht auf die Gleichungen, die in der Kurve sind. Wie muss ich umformen und warum?

Answer 1

Ellipsiche Koordinaten sind ja x=a*cos(α)    ; y=b*sin(α); z=z

und ich weiß, dass x²+y²=r² ist, hier wäre das glaub ich x²+9z²=r², aber ich komm einfach nicht auf die Gleichungen, die in der Kurve sind. Wie muss ich umformen und warum?

Mit x²+9z²=r²  hast du doch in der gegebenen Gleichung y = 1 - x² - 9z² 

doch schon mal  y = 1 - r^2   .  

Und wie du oben sagst x=a*cos(α)    bzw. hier  x=r*cos(α)   und x^2 =r^2 *cos(α)^2

und das einsetzen bei  x²+9z²=r² gibt

           r^2 *cos(α)^2  + 9z^2   =   r^2 

          9z^2   =   r^2 -        r^2 *cos(α)^2 

             9z^2   =   r^2  * (  1   -   cos(α)^2       )

           9z^2   =   r^2  *   sin(α)^2       und weil nichts negativ ist,

kann man die Wurzel ziehen:

         3z  =  r * sin(α)

              z =  ( 1/3 ) * r * sin(α)

       

Comments

Aber wieso darf ich x^2+9z^2=r^2 als Radius sehen? Ich weiß dass ich es kann aber ich verstehe den Grund irgendwie nicht >.> Beim Kreis ist es ja einfach, da habe ich die Herleitung verstanden, dass da X^2+Y^2=r^2 bzw. x^2/r^2 + y^2/r^2 =1 ist

Wieso ist das bei der Ellipse auch so? Der Radius ändert sich Ja

Und was wenn da z.B x^2/4+ 9z^2 stehen würde wie musste ich dann vorgehen?

Könnte ich als Parametriesierung nicht auch einfach (x,  1-x^2 - 9z^2, y) nehmen?

Sorry für die ganzen Fragen ^^"

Und nochmals danke

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Aber wieso darf ich x²+9z²=r² als Radius sehen?

Das hatte ich einfach aus deinem Ansatz übernommen. Wenn ich recht

überlege war ja auch gegeben x^2 + 9z^2 = 1    für y=0

und                                         x^2 + 9z^2 = 0   für y=1

und zwischendurch hast du x^2 + 9z^2 = r^2 bzw. = 1-y

und wenn y von 0 bis 1 läuft, ist das ja nie negativ und du kannst r^2 schreiben.

Der "Radius" ( bei der Ellipse sind das ja zwei verschiedene, heißen wohl Halbachsen)

ergibt sich aus x^2 / a^2  +  z^2 / b^2 = 1

als a und b .