Wie kann man das asymptotische Verhalten bei Exponentialfunktionen untersuchen? f(x) = (-x^3 + 2x^2) *e^{-x}

Question

Wie kann man das asymptotische Verhalten bei Exponentialfunktionen untersuchen?

Gegeben ist die Funktion \( f \) durch \( f(x)=\left(-x^{3}+2 x^{2}\right) \cdot e^{-x} \)

Answer 1

f  = ( -x^3 + 2*x^2 ) *  e^{-x}
oder
f = ( -x^3 + 2*x^2 ) / e^x

lim x −> ∞ [  ( -x^3 + 2 * x^2 ) / e^x  ]
e^x geht gegen ∞ und dies rascher als der Zähler. Der
Quotient geht gegen 0.
lim x −> ∞ [  ( -x^3 + 2 * x^2 ) / e^x  ] = 0
Asymptote : y = 0

lim x −> - ∞ [  ( -x^3 + 2 * x^2 ) / e^x  ]
lim x −> - ∞ [  ( -x^3 + 2 * x^2 ) * e^{-x}  ]  = ∞
e^{-x} geht gegen ∞ und der Term in der Klammer auch.
Es gibt hier keine Asymptote.

Allgemein kann man keine Aussage treffen ob oder welche Asymptoten
eine Exponentialfunktion hat.
Bei z.B. 1 / ( 2^x - 3 )   wird der Nenner für ein bestimmtes x null. Dort
wäre eine Polstelle.  Eine Asymptote : x = ln(2) / ln(3).

Comments

Danke:) ich verstehe nicht wirklich, was genau ich untersuchen muss. Also man soll es einmal gegen unendlich und gegen -unendlich laufen lassen oder wie? Darunter stelle ich mir vor einmal eine große zahl 1000 in die funktion einzusetzen und einmal -1000. aber seelbst da komme ich nicht wirklic weiter, weil mein Taschenrechner bei -1000 error sagt. Was mache ich falsch?

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Du machst nichts falsch. Durch das Einsetzen von immer größer
werdenden Werten kann man sich auch einen Einblick verschaffen
wohin die Funktion geht.

Mit der Mathematik Erfahrene gehen anders vor, bzw. wissen aus
Ihrer Erfahrung bereits schon " wohin die Reise " geht. Dies Wissen
mußt du dir auch erarbeiten.

Eine Hilfe könnte sein : du läßt dir die Funktion mit einem Funktionsplotter
zeichnen. Oben rechts auf dieser Seite findets du einen solchen.

Dein Taschenrechner findet für e^{1000} keine Zahl mehr.

Answer 2

HIer solltest du eigentlich vor allem wissen, dass die Exponentialfunktion für genügend grosse x (pos. oder neg.) stärker ist als jede Potenzfunktion.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+%28-x%5E3+%2B+2x%5E2%29+*e%5E%28-x%29

Daher ist für grosse x (pos. und neg.) nur e^{-x} relevant.

Für x --> + unendlich ist y = 0 eine horizontale Asymptote an den Graphen.

Für x --> - unendlich gibt es keine Gerade als Asymptote.  e^{-x} geht ja gegen unendlich.

Vertikale Asymptoten gibt es auch nicht, da x nicht im Nenner vorkommt.