Vektor in drei vektorielle Komponenten zerlegen, die parallel sind zu e_{1} bzw. e_{3}.

Question

Der Vektor \( \vec{a}=5 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k} \) ist in drei vektorielle Komponenten zu zerlegen, die parallel zu \( \vec{e}_{1}=\vec{i}+\vec{j}, \vec{e}_{2}=\vec{j}+\vec{k} \) bzw. \( \vec{e}_{3}=\vec{i}+\vec{k} \) sind.

Lösung:

\( \vec{a}=\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}+\vec{a}_{3} \) mit \( \vec{a}_{1}=3 \vec{i}+3 \vec{j}, \quad \vec{a}_{2}=-\vec{j}-\vec{k}, \quad \vec{a}_{3}=2 \vec{i}+2 \vec{k} \)

Answer 1

a = 5i + 2j +k

gesucht sind x,y,z mit

a= xe1 + ye2 + ze3 = x(i+j) + y(j+k) + z( i + k)

= (x+z)*i  +  ( x+y) * j  +  ( y+z) * k

und die Werte in den Klammern müssen ja die 5  2   1  von oben

sein.   also machst du ein Gleichungssystem

x+z=5      x+y=2     und   y+z= 1

und erhältst als Lösungen x=3  y=-1   und z=2

Comments

Den Rechenweg verstehe ich, aber die Logik dahinter durchblicke ich noch nicht ganz. Was mache ich da genau? Was weise ich nach? Warum ist das so?

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Die i,j,k bilden eine Basis für den Vektorraum und

die e1,e2,e3 auch. Es geht also darum von einer Basisdarstellung

in die andere umzurechnen

Answer 2

Mach doch einfach den Ansatz -> a= u*e1+v*e2+w*e3

dann bekommst du durch Vergleich für u,v,w das Gleichungssystem

u+w=5

u+v=2

v+w= 1

das wirst du doch problemlos lösen können.