Eigenwerte der 3x3-Matrix. A = ((2,-1,0),(0,1,0), (1,-1,1))

Question

Matrix:

\( A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right) \)

a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von \( A \).

b) Gibt es eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \), die aus Eigenvektoren von \( A \) besteht? Geben Sie ggf. diese Basis an.

c) Welchen Wert hat die Determinante von \( A ? \)

d) Ist \( A \) invertierbar? Begründen Sie Ihre Antwort.

Comments

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Dass (0,0,1) ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist, siehst du schon daran, dass in den Spalten der Matrix die Bildvektoren der Basisvektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) stehen. Denn Rest musst du aber ausrechnen.

Answer 1

a) Um die Eigenwerte λ zu finden muss du folgendes lösen: $$det(A-\lambda I)=0$$

b) Um die Eigenvektoren $$x=(x_1,x_2,x_3)^T$$ zu finden muss du folgendes lösen: $$(A-\lambda_i I) x=0$$

c) Kennst du die Regel von Sarrus?

d) A ist invertierbar wenn $$det A \neq 0$$