Integralrechnung einer Gaußgleichung

Question

die folgende Gleichung ist zu integrieren:

$$\int { x{ e }^{ -a{ x }^{ 2 } } }$$

Ich habe mit partieller Integration versucht, indem ich x als f(x) und den exp-Teil als g`(x) setzte. Leider ohne Erfolg. Auch mit umgekehrtem f(x) und g'(x) kriege ich das nicht hin. In beiden Fällen kommt es dazu, dass ich immer mehr Terme bekomme, die zu integrieren sind......

Wäre sehr hilfreich, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

$$u=e^{-ax^2} \Rightarrow du=-2axe^{-ax^2}dx \Rightarrow \frac{-1}{2a}du=xe^{-ax^2}dx$$ 

Also

$$\int x e^{-ax^2}dx=\int \frac{-1}{2a}du= -\frac{1}{2a} \int du=-\frac{1}{2a}u=-\frac{1}{2a}e^{-ax^2}$$

Comments

Danke. Es wurde also mit u substituiert, du berechnet, nach dx aufgelöst und eingesetzt oder?

Ich wusste gar nicht, dass man dx wie eine Variable behandeln kann.

---

Ja!
Es gilt folgendes:
$$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$$
wobei $$u=g(x), \text{ und } du=g'(x) dx$$
In diesem Fall $$\int x e^{-ax^2}dx$$ ist $$g(x)=e^{-ax^2} $$ also $$u=e^{-ax^2} \text{ und } du=(e^{-ax^2})'dx$$

---

Super Danke ich habs verstanden.

Ich habe nun die folgende Gleichung:

$$\int { { x }^{ 3 }{ e }^{ { -ax }^{ 2 } }dx }$$

Wenn ich die gleiche Methode wie oben verwende, habe ich das Problem, dass ich den x nicht wegbekomme. Also:

$$\int { { x }^{ 3 } } \cdot (-\frac { 1 }{ 2ax{ e }^{ -a{ x }^{ 2 } } } )\quad du\quad =\quad -\int { { x }^{ 2 } } \frac { 1 }{ 2a } du$$

Ich weiß nicht wie ich diese x^2 behandeln so also habe ich das wie eine Konstante behandelt und weitergerechnet:

$$-\frac { 1 }{ 2a } { x }^{ 2 }\int { du } \quad =\quad -\frac { { x }^{ 2 }{ e }^{ -a{ x }^{ 2 } } }{ 2a }$$

Kann ich das überhaupt so rechnen?